2.3 Mathematikunterricht mit Orientierung auf Realität, sozialen Kontext und Aktion

International werden gegenwärtig zahlreiche Initiativen und Ideen für den Mathematikunterricht diskutiert (Guzmán 1993, Ernst 1995a, und ICEM8 1996). Einige davon stehen in engem Zusammenhang mit den bisher genannten didaktischen und pädagogischen Auffassungen, andere weisen Verbindungen zu den aus der empirischen Studie in Nicaragua und Venezuela gewonnenen Kategorien auf (35) . Genannt werden sollen hier die Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht (Kaiser- Messmer /Blum / Schober 1992), Ethnomathematik (D`Ambrosio 1990, Ascher 1992 und Gerdes 1990), Projektlernen (Münzinger 1977) und activ-entdeckendes und soziales Lernen (Wittmann 1988b und Winter 1991). Im folgenden Abschnitt werden diese Themen direkt oder indirekt präsent sein, wobei es nicht um eine theoretische Bewertung geht, sondern um Berührungspunkte zwischen diesen Strömungen und der Educación Popular sowie den Ergebnissen der empirischen Untersuchung. Gemeinsam ist allen diesen Ansätzen die Betonung der Aktivitäten der Lernenden und der Gruppenarbeit. Besondere Aufmerksamkeit soll jedoch im folgenden der Verknüpfung des Mathematikunterrichts mit der Realität gewidmet werden.

2.3.1 Mathematikunterricht in Verbindung mit der Realität

 

2.3.1.1 Entstehung der Mathematik aus praktischen Erfordernissen

Mehrere Historiker (Bell 1949, Boll 1973, Hofmann 1960, Ifrah 1986, Bergamini 1975, u.a.) sind übereinstimmend der Auffassung, daß die Entwicklung mathematischer Konzepte von Anfang an in enger Verbindung zu den Beziehungen des Menschen zu seiner Umwelt stand. Immer bestand die Notwendigkeit, zu zählen bzw. Zahlen zu benutzen. Beim Austausch von Gütern waren die Meßsysteme wahrscheinlich mit den Fingern, den Zehen und anderen Körperteilen verbunden. In dem Maße, wie sich die Lagerhaltung entwickelte, wurden auch präzisere Messungen nötig. Dazu wurden vermutlich speziell dafür hergestellte Objekte oder Zeichen an Steinen, Höhlen und Bäumen verwendet. Jede Kultur schuf sich ihr eigenes System, so Ifrah (1986, 16): "Die Geschichte der Zahl beschränkt sich jedoch nicht nur auf Finger, Kieselsteine oder Kerben. So verwendeten die Inka Südamerikas in ihren Verwaltungsarchiven ein geniales System, nämlich geknotete Schnüre."

Die Inkas verwendeten unterschiedlich gefärbte geknotete Schnüre, die Quipus (Orellana 1990), für die Feststellung der Zahl von Tieren oder der Ernteergebnisse. Alte Kulturen wie die südamerikanischen (Maya, Inka und Azteken), die chinesische, die indische (Joseph 1993) und die afrikanische beeindrucken durch ihre Zähl- und Meßmethoden (Gerdes 1990). Für Messungen wurden und werden auch Teile des Körpers oder speziell dafür konstruierte Objekte verwendet. Die Ägypter, Griechen und Römer nutzten zum Beispiel für recht präzise Messungen den Ellbogen, den Finger oder den Fuß (Hofmann 1960).

Die reichen und mächtigen ägyptischen Priester verlangten Steuern für den Bau von Tempeln, Palästen und Pyramiden. Für die Bestimmung der zu zahlenden Steuern mußte der Besitz an Boden ermittelt werden. Durch Beobachtungen ihres Grundbesitzes konnten sie eine Methode zur Berechnung von quadratischen und rechteckigen Flächen entwickeln. Schwierig war damals die Konstruktion eines rechten Winkels und damit des rechtwinkligen Dreiecks, das für präzisere Baukonstruktionen gebraucht wurde. Auf Grund der Nilüberschwemmungen (Münzinger 1971, 38) "(mußten) die Felder neu vermessen werden", und zwar mit Hilfe der "Seilspannkunst", d.h. mit einem Seil mit 11 Knoten jeweils im Abstand eines Ellbogens wurde ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten von 3, 4 oder 5 Ellbogen konstruiert.

Diese Anfänge, aus denen sich Zahlen- und Meßsysteme entwickelten, gingen nicht auf rein intellektuelle Fragen zurück, sondern auf die Notwendigkeit, Probleme zu lösen, die sich aus der Arbeit, dem sozialen Leben, dem unmittelbaren Kontakt mit der Natur und ihrer Beobachtung ergaben. Diese Beobachtungen führten zur Schaffung von Kalendern, z.B. bei den Maya und den Babyloniern (Beyer 1997). In diesem Kontext entwickelte sich die Messung der Zeit, und die ersten Sonnenuhren entstanden. Mit dem Austausch von Gütern bestand die Notwendigkeit, Bewertungen vorzunehmen. Dieser Wert war abhängig von der Arbeit, der Knappheit bestimmter Güter und der damit verbundenen besonderen Wertschätzung.

In Indien war es die Kuh, in China Produkte wie Leder, Pelze, Korn und bestimmte Tiere (Ifrah 1986). Die Azteken nutzten landwirtschaftliche Erzeugnisse wie Kakaobohnen, und die Mayas verwendeten als Tauschwert Baumwolle, Kakao, Steinperlen und Gold. Perlen oder Muschelketten waren bei verschiedenen Kulturen, so auf den Pazifikinseln und bei den Indianern Nordamerikas, bedeutende Wertobjekte im Tausch gegen andere Produkte. Bei den Griechen war es der Ochse. "Auch im alten Ägypten wurden Nahrungsmittel und andere Waren häufig in Metall bewertet und bezahlt, meist mit Kupfer und Bronze, selten mit Gold oder Silber" (Ifrah 1986, 131). Die Maße und Tauschmethoden wurden immer weiter perfektioniert bis hin zur Einführung des Geldes, die mit der Messung von Gewichten einherging, da zur Kontrolle des Wertes die Tauschprodukte in Metallbarren gemessen wurden. Etwa im siebenten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung entstanden in China, Anatolien und Griechenland die ersten Systeme von Metallgeld oder kleinen Metallbarren für den Tauschhandel (Ifrah 1986).

 

2.3.1.2 Bedeutung eines an der Realität orientierten Mathematikunterrichts

Seit damals ist Geld Teil der menschlichen Existenz und heute hängt ein Teil seines Lebens vom Geld ab. Ängste und Ungerechtigkeiten sind damit verbunden, Reichtum und Armut widerspiegeln die Verteilung der Güter, die in Geld gemessen werden. Viel ließe sich darüber schreiben, und ein großer Teil des Mathematikunterrichts könnte der Behandlung dieses Themas gewidmet werden (36) . Finanzmathematik, Mathematik für Ökonomen, Mathematik für das tägliche Leben (Volk 1995) hat mit den alltäglichen Relationen von Kauf und Verkauf, Gewinn und Verlust, Einnahmen und Ausgaben, Bauvorhaben, Transportsystemen, Konsumstreben und Bedürfnissen, Arbeitern und Chefs, Ausgebeuteten und Ausbeutern zu tun.

Mathematik und Geld sind also heute Bestandteil des menschlichen Lebens. Schon vor der Schule lernen Kinder im Kontakt mit ihrer Umgebung und vor allem in der Familie, zu rechnen und sogar mit hohen Zahlen umzugehen (Franke 1997). Keitel (1987, 57) bemerkt dazu: "Sein Rechnen ist noch teils an die konkreten Handlungen mit Geld, teils an deren Vorstellung gebunden". Das Taschengeld bringt die Kinder in Kontakt zur Welt des Geldes und der Mathematik. Ein weiteres oft genanntes Thema ist die Berechnung von Zinsen (Kinne 1997). In der Tat ist es reich an mathematischen Inhalten, wird aber nicht immer mit der gebotenen kritischen Objektivität behandelt, möglicherweise aus dem von Kanitz (1987, 60) genannten Grund: "Denn Kinder, die so rechnen lernen, werden einst nicht nur imstande sein, im Dienst des Kapitalismus gründlich Zinsen zu rechnen, sondern die werden das Wissen und den Willen aufbringen, mit der ganzen kapitalistischen Wirtschaftsordnung gründlich und entscheidend abzurechnen".

Mathematik und Realität treffen nicht nur im Bereich des Geldes aufeinander, auch wenn es wie angemerkt einen großen Teil des Lebens der Menschen beeinflußt und bedingt, sondern erfaßt im Ergebnis der historischen Entwicklung auch andere Bereiche, die das Individuum in unterschiedlicher Form betreffen (Jollands 1985). Die Naturwissenschaften, die Technik und die Wirtschaft bedürfen der Mathematik, um ihre Konzepte zu erläutern oder für reale und konkrete Situationen zu gestalten. Sie haben ihrerseits die Mathematik durch Fragestellungen bereichert, die zu mathematischen Problemen geworden sind.

Seit ihrer Entstehung hat die Mathematik praktischen Wert. Bauvorhaben, Zeitmessungen, Raum, Masse, kommerzielle Berechnungen, Funktionsweise des Staates, die Technik in ihren unterschiedlichen Erscheinungsformen, sie alle brauchen die Mathematik. Man kann also nicht von Mathematik sprechen, ohne auf andere Wissenschaften und auf die praktischen Situationen der Menschen zu verweisen (Morris 1985a). Im Gegenteil, Mathematik ist Bestandteil der technologischen, wirtschaftlichen, kulturellen und sozialen Umwelt des Menschen. Keitel / Kotzmann / Skovsmose (1993, 248) führen dazu aus:

"Before that time it was hard to differentiate between mathematicians and natural scientists, at least from our present point of view. And still today the queen wears the clothes of a servant (...). Since the raise of modern sciences mathematics has been the "work horse" for every scientist, engineer, or merchant to describe and solve their problems. The importance of mathematics for society in general is so strongly accepted not because a relative small group of professionals create interesting mathematical knowledge, but because this knowledge can be applied to many theoretical as well as practical problems".

Daher ist eine engere und verantwortungsvolle Verbindung zwischen der Mathematik und der Realität (Volk 1993b) der Individuen in ihrem sozialen Kontext erforderlich, die Rückwirkungen haben kann auf die Befriedigung von Bedürfnissen der Menschen und der Gesellschaft als komplexem Ganzen, das nicht von der Entwicklung der Technik und der Wissenschaften isoliert gesehen werden kann (Morris 1985b).

Skovsmose (1994a, und 1994b, 47f) stellt bei der Begründung seines Konzepts für einen kritischen Mathematikunterricht fest, daß drei Grundfähigkeiten oder Kompetenzen entwickelt werden sollten. An erster Stelle steht das mathematische Wissen, d.h. die Gesamtheit der universellen mathematischen Inhalte, Konzepte, Algorithmen und Ideen, die der traditionellen Schulmathematik entsprechen. Die zweite Kompetenz ist das technologische Wissen, d.h. die Fähigkeit, einen Modellbildungsprozeß (Blum 1985) zu entwickeln und die Mathematik zur Problemlösung anzuwenden. Gemeint ist die Fähigkeit zur Auswahl und Anwendung mathematischer Algorithmen für die Lösung spezifischer Probleme. Die dritte Kompetenz steht in Verbindung mit dem reflexiven Wissen, d.h. der Fähigkeit, kritisch und sorgfältig die Konsequenzen bei der Anwendung technologischen Wissens zu überdenken.

Für Skovsmose (1994b) sind die beiden letztgenannten Kompetenzen, die verschiedene Wissenstypen darstellen, nicht unabhängig voneinander, da immer die Frage zu stellen ist, wofür das Wissen genutzt werden soll und welches technologische Wissen erforderlich ist, um sozial bedeutende Probleme zu lösen.

Dieser Gesichtspunkt macht eine genauere Betrachtung des Mathematikunterrichts auf der Grundlage der Anwendungsorientierung und des Modellbildungsprozesses nötig.

 

2.3.1.3 Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht

Theoretische Überlegungen zur Verbindung von Mathematik und Realität (Freudenthal 1986, de Lange 1987, u. a.) haben eine starke Argumentation für die Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht (37) geliefert. Seit Mitte der 60er Jahre (Kaiser-Messmer 1989) ist dieser Ansatz nicht nur international modern (Volk 1993a) in den theoretischen Diskussionen, sondern zu einem Bestandteil der praktischen Bildung geworden, so daß man davon sprechen kann, daß er sich in der Phase der Etablierung vor allem für die Sekundarstufe befindet (Lewe 1990, Kaiser-Messmer 1995, Kaiser 1997 und Humenberger 1997). Kinne (1997) und Fischer / Malle (1985) zitieren Kaiser-Messmer (1986, 204f.), die die mit dem anwendungsorientierten Mathematikunterricht verbundenen Lernziele in vier Gruppen einteilt (38) :

 

Der Modellbildungsprozeß als Basis der Anwendungsorientierung des Mathematikunterrichts

Theoretische Grundlage für das Herangehen an den Mathematikunterricht unter Anwendungsbezug ist der Prozeß der Modellbildung (Tíjonov / Kostomárov 1979, Blum 1985, Kaiser-Messmer 1986). Mehrere Autoren haben Modelle Diagramme von kreisförmigen Prozessen entworfen und beschrieben, um die Trennung von Mathematik und Realität zu überwinden (Fischer / Malle 1985, Keitel 1986, Borovcnik 1986, Haas / Winter 1995, Frenzel / Grund 1991, Zais / Grund 1991, Zais 1995, u.a.). Das bekannteste Schema (Blum 1985) wird häufig in Arbeiten zu theoretischen Aspekten und praktischen Beispielen anwendungsorientierten Mathematikunterrichts zitiert:

 

Es besteht aus neun wesentlichen Elementen, die nicht statisch und entsprechend dem zu untersuchenden realen Problem und der mathematischen Erfordernisse für seine Lösung miteinander verbunden sind. In den folgenden fünf Phasen sind diese Elemente in Gruppen zusammengefaßt:

Zusammenfassung

Mathematische Modelle reduzieren die Untersuchung einer ursprünglich als nicht mathematisch angesehenen realen Situation auf die Lösung eines Problems mit mathematischen Eigenheiten. Durch universelle mathematische Vorgänge kann es analysiert werden, um zu einer quantitativen und qualitativen Lösung des realen Problems zu gelangen. Aus didaktischer Sicht liegt die Stärke dieses Ansatzes in der gleichzeitigen Arbeit an konkreten Problemen aus dem Alltag und der Umwelt (Blum 1993) und der Behandlung mathematischer Inhalte, die traditionell trocken und abstrakt vermittelt wurden. Haas / Winter (1995, 49) bemerken dazu: "So gesehen ist das Bilden von Modellen ein kreativer Akt, eine anspruchsvolle, fragile und offene Angelegenheit, aber unumgänglich, wenn das Anwenden im Mathematikunterricht eine aufklärerische Funktion haben soll."

Zwei Schwachpunkte finden sich in den theoretischen Arbeiten zum anwendungsorientierten Mathematikunterricht und in der Mehrzahl der konkreten Umsetzungsbeispiele: einerseits die fehlende Stärkung des kritisch-emanzipatorischen Bewußtseins der Lernenden auch durch den Mathematikunterricht (Keitel 1986, Volk 1993b, Skovsmose 1994b und Niss 1987, u. a.) und andererseits die Beibehaltung traditioneller didaktischer Merkmale des impositiven Mathematikunterrichts, der weder das soziale und politische System noch die Realität hinterfragt, auf die sich dieser Ansatz des Mathematikunterrichts so deutlich beruft.

Eine Reihe von realen Problemen, die auch in der Literatur häufig eine Rolle spielen, legitimieren wichtige mathematische Konzepte, die weniger akademisch gemacht werden können, aber nicht signifikant sind und niemanden interessieren (Howson und Bryan 1986). Einige andere, die ebenfalls häufig behandelt werden, haben mit Verkehr, Zinsen oder Kaufen (Konsum) zu tun, beziehen jedoch die negativen Konsequenzen für die Bevölkerung, die diesen drei Beispielen innewohnen, unzureichend in die Untersuchung ein.

Die beiden Aspekte, die fehlende Bewußtseinsbildung und der impositive Unterricht, werden von der Educación Popular hinterfragt und bilden die zentrale These der vorliegenden Arbeit. (39) Die folgenden Überlegungen Skovsmoses (1994b, 48) zu seinem kritischen Konzept für den Mathematikunterricht werden daher hier anstelle einer Schlußfolgerung zitiert:

"If mathemacy has a role to play in education, similar to but not identical to the role of literacy, then mathemacy must be seen as composed of different competences: a mathematical, a technological and reflective. And especially: reflective knowing has to be developed to provide mathemacy with a critical dimension."

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Endnote:

(35) Vgl. Kapitel 4, 5, 6 und 7, insbesondere die Ausführungen zur Anwendungs- und Handlungsorientierung (5.3.5 und 5.3.6). Zu bemerken ist weiterhin, daß die Educación Popular große Ähnlichkeiten mit dem Prinzip der Handlungsorientierung aufweist.

(36) Vgl. z.B. die Beiträge von Winter in mathematik lehren, Heft 20, (1987) und Neumärker / Heinz Heft 41 (1990). Dort gibt es interessante Artikel zu einem Mathematikunterricht über das Thema Geld.

(37) In Deutschland existieren wichtige und wertvolle Forschungsarbeiten über das didaktische Prinzip des "Anwendungsorientierten Mathematikunterrichts", zu dessen Vertreter Blum (1985) und Kaiser-Messmer (1984, 1989, 1991a, 1991b) gehören. Die auch international publizierten Forschungsarbeiten beinhalten unter anderem folgende Aspekte: a) Historische Entwicklung der Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht (Geschichtlicher Überblick zur Entwicklung der Diskussion um Anwendungen, historische Positionen zu Anwendungen) b) Das didaktische Prinzip der Anwendungsorientierung (Bedeutung, Ziele, Methodologie, Lernpsychologie, Realisierungsprobleme, etc.) und c) Richtungen des anwendungsorientierten Mathematikunterrichts (internationale / nationale Ansätze: pragmatische Richtung, wissenschaftliche und humanistische Richtung). Vgl. auch Keitel (1986, 29ff.), die ein vereinfachtes Modell über die Wechselwirkungen von mathematischem Wissen, Realitätswissen und Problemlösungsansätzen für reale Probleme entwirft.

(38) Siehe auch: Baumann / Dürr / Henn / Weyrauch (1994, 2f.) und vgl. Winter (1991, 216f.), der - ausgehend von den Zielen eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts - einige der Schwierigkeiten bei seiner Realisierung untersucht.

(39) Vgl. die Ergebnisse der empirischen Untersuchung ab Kapitel 4, wo die Charakteristika des Mathematikunterrichts in Nicaragua und Venezuela detailliert dargestellt sind.

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