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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-84652
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2017/8465/


A Semi-implicit Smoothed Particle Hydrodynamics Method for the Numerical Simulation of Shallow Water Flows

Eine semi-impliziten SPH (smoothed particle hydrodynamics) Verfahrens zur numerischen Lösung der Flachwassergleichungen

Bankole, Adeleke Olusegun

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Freie Schlagwörter (Englisch): Meshfree , SPH , SWE , Wetting/Drying
Basisklassifikation: 31.80 , 31.76
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Iske, Armin (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 01.02.2017
Erstellungsjahr: 2016
Publikationsdatum: 18.04.2017
Kurzfassung auf Deutsch: In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit der Entwicklung eines neuen semi-impliziten SPH (smoothed particle hydrodynamics) Verfahrens zur numerischen Lösung der Flachwassergleichungen. Dabei verwenden wir den semi-impliziten Finite Volumen und Finite Differenzen Ansatz von Casulli (Journal of Computational Physics Vol. 86, pp 56-74, (1990)). Die numerische Lösung auf einer verteilten Partikelkonfiguration wird hergeleitet und diskutiert.

Für klassische explizite numerische Verfahren erfordert die CFL-Stabilitätsbedingung häufig erhebliche Einschränkungen bei der Wahl des Zeitschrittes. Das in dieser Arbeit entwickelte semi-implizite SPH-Verfahren ist unbedingt (d.h. unabhängig von der Größe des Zeitschrittes) stabil. Hierzu wird die diskrete Impulsgleichung in die diskrete Kontinuitätsgleichung eingesetzt. Dies führt zu einem symmetrischen, positiv definiten linearen System für die freie Oberfläche. Das resultierende System ist dünn besetzt und kann effizient mit einem matrixfreien CG-Verfahren gelöst werden. Sobald die neue freie Oberfläche bekannt ist, kann die Geschwindigkeit zum neuen Zeitpunkt direkt berechnet werden. Die Partikelpositionen werden dann entsprechend aktualisiert. Die neuartige semi-implizite Version des hier entwickelten SPH-Verfahrens unterscheidet sich von vorherigen Varianten: mit dem verteilten Ansatz ist das System für die freie Oberfläche dünn besetzt.

Wir befassen uns außerdem mit Simulationen der Überflutung und Austrocknung (wetting and drying) von Regionen. Dies geschieht mithilfe des nichtlinearen Algorithmus von Casulli (International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 60, pp 391-408, (2009)). Wir leiten eine schwach nichtlineare Bedingung für die diskrete freie Oberfläche her, indem wir die korrekte Massebilanz in gefluteten Regionen und in Übergangsregionen (d.h. in Regionen, in denen ein Übergang von gefluteten zu trocken Partikeln und umgekehrt stattfindet) betrachten. Im Gegensatz zu vorherigen Ansätzen legen wir keine Schwellen beim Übergang von gefluteten zu trockenen Regionen fest. Einfache aber dennoch aussagekräftige Beispiele in 1D und 2D demonstrieren die Leistungsfähigkeit des hier entwickelten Verfahrens. Die resultierenden Algorithmen werden schließlich durch Vergleiche mit zuverlässigen Referenzlösungen validiert.
Kurzfassung auf Englisch: This work focuses on the development of a new semi-implicit SPH scheme for the shallow water equations, following the semi-implicit finite volume and finite difference approach of Casulli (Journal of Computational Physics Vol. 86, pp 56-74, (1990)). The numerical solution of the shallow water equations on a staggered particle configuration has been derived and discussed.

In standard explicit numerical methods, there is often a severe limitation on the time step due to the stability restriction imposed by the CFL condition. This thesis proposes, a new semi-implicit SPH scheme, which leads to an unconditionally stable method. To this end, the discrete momentum equation is substituted into the discrete continuity equation to obtain a symmetric positive definite linear system for the free surface elevation. The resulting system is sparse which can easily be solved by a matrix-free conjugate gradient method. Once the new free surface location is known, the velocity at the new time level can directly be computed and the particle positions can subsequently be updated. This staggered semi-implicit SPH method stands out from the existing SPH schemes, the staggered approach makes the resulting system for the free surface elevation sparse.

This work involves wetting and drying, this phenomena is treated by the nonlinear algorithm proposed by Casulli (International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 60, pp 391-408, (2009)). We derive a mildly nonlinear system for the discrete free surface elevation from the shallow water equations by taking into consideration a correct mass balance in wet regions and in transition regions, i.e., the regions from wet particles to dry particles and those from dry particles to wet particles. Unlike in other approaches, our algorithm does not place screens or threshold values at some points to deal with the treatment of wetting and drying. Simple and yet non-trivial 1D, 2D and wetting/drying test problems for the shallow water equation are presented to validate the method. Comparisons have been made in all the cases considered with very reliable numerical reference solutions.

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