Analysis of Natural Function Spaces and Dynamics on Noncompact Manifolds under Symmetry

Abstract

The main goal of this doctoral thesis is to discuss the foundations of dynamical systems, whose state space is a space of maps defined on a noncompact domain and whose dynamics are compatible with the symmetries of this domain.

Obviously, a mathematical rigorous treatment of such dynamical systems requires to specify, which spaces of maps are used, e.g. Sobolev spaces. However, regarding pattern formation on noncompact manifolds under symmetry, solutions of dynamical equations within the class of Sobolev vector fields do not include typical patterns with noncompact symmetries, as they vanish at infinity. But even if solutions within other Banach spaces of maps can be established, the problem remains that for noncompact manifolds the symmetry group in general does not act continuously on Banach spaces of maps, as it acts by

composition, but composition and evaluation are not continuous.

Therefore, in this thesis locally convex spaces of maps like the local Sobolev spaces are used to model dynamical systems, where composition, evaluation and thus also the symmetry action are continuous. However, as the analysis of such natural function spaces is not far developed in literature, a main task of this thesis is to extend the analysis to such spaces, and to provide theorems used in the study of dynamical equations. Contrary to the category of normable spaces, the category of locally convex spaces is not tensorial closed, and thus there is no natural space of continuous linear maps between locally convex spaces. A problem is that it is not clear how to define continuously differentiable maps. However, by using a tensorial closed category of vector spaces endowed with a slightly more general topological structure than a locally convex topology, this problem can be solved and a sufficient differential calculus can be developed.

But analysis requires more than just a differential calculus: Differential equations must be solved, an inverse function theorem is needed, and other theorems of classical analysis must be transfered to the new setting. However, on locally convex spaces there exist locally not solvable differential equations with continuous linear right hand side, so that a precise discussion is needed. Also here our choice of the tensorial closed category is helpful, because it guarantees that continuously differential maps are locally Lipschitz continuous, so that solvability of differential equations can be characterized by growing conditions. Finally, also manifolds modeled on complete locally convex topological vector spaces are considered.

After having laid the analytic foundations, in the second part of this thesis fluid dynamical systems and pattern formation on noncompact manifolds are discussed. It is shown that fluid dynamical equations like those modeling inviscous compressible fluids can be modeled using natural spaces of maps, the pattern formation under symmetry in the Banach case and in the locally convex case is compared, and methods to obtain the bifurcation equation in the locally convex case are developed.

Das Hauptziel dieser Doktorarbeit ist es, die Grundlagen dynamischer Systeme zu entwickeln, deren Zustandsraum ein Raum von Abbildungen auf einem nichtkompakten Gebiet und deren Evolution kompatibel mit den Symmetrien des Gebietes ist.

Ein rigoroses Studium solch dynamischer Systeme erfordert natürlich, den benutzten Raum von Abbildungen festzulegen, z.B. einen Sobolev-Raum. Für die Untersuchung von Musterbildung unter Symmetrie auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten ist die Wahl eines Sobolev-Raumes aber ungünstig, da die Differenz von Mustern mit unterschiedlicher nichtkompakter Symmetrie nicht im Unendlichen verschwindet und somit durch kein Sobolev-Vektorfeld repräsentiert werden kann. Auch die Benutzung anderer Banachräume ist keine Alternative, da für nichtkompakte Mannigfaltigkeiten i.a. die Symmetrie nicht stetig auf Banachräumen operiert, denn Komposition von und das Einsetzen in Abbildungen ist dort nicht stetig.

Deswegen werden in dieser Arbeit lokalkonvexe Räume von Abbildungen wie lokale Sobolev-Räume benutzt, auf denen die Komposition, die Evaluation und somit auch die Symmetrie-Operation stetig ist. Jedoch ist die Analysis solch natürlicher Funktionenräume bisher nicht so weit entwickelt, daß man dynamische Systeme mit analytischen Methoden untersuchen kann. Dort Abhilfe zu schaffen, ist eines der Hauptziele der Arbeit. Nun ist im Gegensatz zur Kategorie der normierbaren Räume die Kategorie der lokalkonvexen Räume leider nicht tensoriell abgeschlossen, so daß der Raum der stetigen linearen Abbildungen zwischen lokalkonvexen Räumen nicht in natürlicher Weise mit einer Topologie versehen werden kann. Insbesondere erschwert dies die Definition von stetig differenzierbaren Abbildungen. Dieses Problem wird hier gelöst, indem eine tensoriell abgeschlossene Kategorie von Räumen mit einer nur wenig allgemeineren Strukutur als einer lokalkonvexen Topologie konstruiert wird. Diese erlaubt dann die Entwicklung eines leistungsfähigen Differentialkalküls.

Aber Analysis ist mehr als ein Differentialkalkül: Man muß

Differentialgleichungen lösen k"onnen, benötigt einen Satz über implizite Funktionen und auch andere Sätze der klassischen Banachraum-Analysis. Aber z.B. existieren auf vollständigen lokalkonvexen R"aumen stetige lineare Differentialgleichungen, die lokal nicht lösbar sind, so daß eine präzise Diskussion notwendig ist. Auch hier hilft die betrachtete Kategorie weiter, denn stetig differenzierbare Abbildungen sind automatisch lokal Lipschitz stetig, so daß man die Lösbarkeit von Anfangswertaufgaben durch

Wachstumsbedingungen charakterisieren kann. Ebenso wird die Modellierung von Mannigfaltigkeiten über vollständigen lokalkonvexen Räumen diskutiert.

Nachdem die analytischen Grundlagen gelegt sind, wird im zweiten Teil der Arbeit Fluiddynamik und Musterbilldung auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten diskutiert. Es wird gezeigt, daß inviskose kompressible Fluide mittels natürlicher Funktionenräume modelliert werden k"onnen, es wird die Musterbildung unter Symmetrie im Banach- und im lokalkonvexen Fall miteinander verglichen, und Methoden zur Gewinnung der Bifurkationsgleichung im lokalkonvexen Fall

werden entwickelt.