Modular Action on the Massive Algebra

Abstract

The subject of this thesis is the modular group of automorphisms, acting on the massive algebra of local observables having their support in a bounded open region of Minkowski space. After a compact introduction to micro-local analysis and the theory of one-parameter groups of automorphisms, which are used exensively throughout the investigation, we are concerned with modular theory and its consequences in mathematics, e.g., Connes' cocycle theorem and classification of type III factors and Jones' index theory, as well as in physics, e.g., the determination of local von Neumann algebras to be hyperfinite factors of type III_1, the formulation of thermodynamic equilibrium states for infinite-dimensional quantum systems (KMS states) and the discovery of modular action as geometric transformations. However, our main focus are its applications in physics, in particular the modular action as Lorentz boosts on the Rindler wedge, as dilations on the forward light cone and as conformal mappings on the double cone. Subsequently, their most important implications in local quantum physics are discussed.

The purpose of this thesis is to shed more light on the transition from the known massless modular action to the wanted massive one in the case of double cones. First of all the infinitesimal generator of the massive modular group is investigated, especially some assumptions on its structure are verified explicitly for the first time for two concrete examples. Then, two strategies for the calculation of the massive modular group itself are discussed. Some formalisms and results from operator theory and the method of second quantisation used in this thesis are made available in the appendix.

Gegenstand dieser Dissertation ist die modulare Automorphismengruppe auf der massiven Algebra der lokalen Observablen mit Träger in einer beschraenkten offenen Teilmenge des Minkowski-Raums. Nach einer kompakten Einfuehrung in die mikrolokale Analysis und die Theorie einparametriger Automorphismengruppen, von denen in dieser Arbeit ausgiebig Gebrauch gemacht wird, behandeln wir die modulare Theorie und ihre Konsequenzen sowohl in der Mathematik, z.B. das Kozykel-Theorem und die Klassifizierung von Faktoren vom Typ III von Connes und die Indextheorie von Jones, als auch in der Physik, als da sind die Bestimmung der lokalen von Neumann Algebren als hyperfinite Faktoren vom Typ III_1, die Formulierung von thermodynamischen Zustaenden in unendlichdimensionalen Quantensystemen (KMS-Zustaende) und die Entdeckung der modularen Wirkung als geometrische Transformation. Unser Hauptaugenmerk sind jedoch die physikalischen Anwendungen und hier ganz besonders die modulare Wirkung als Lorentz-Boosts auf dem Rindler-Keil, als Dilatationen auf dem Vorwaertslichtkegel und als konforme Abbildungen auf dem Doppelkegel. Ihre wichtigsten Folgerungen in der lokalen Quantenphysik werden anschliessend besprochen.

Ziel dieser Arbeit ist es, im Falle des Doppelkegels mehr Licht auf den Uebergang von der bekannten masselosen modularen Wirkung auf die noch zu berechnende massive zu werfen. Zunaechst wird der infinitesimale Generator der massiven modularen Gruppe analysiert, insbesondere werden einige Vermutungen ueber seine Struktur zum ersten Mal fuer zwei konkrete Beispiele explizit bestaetigt. Danach diskutieren wir zwei Strategien fuer die Berechnung der Gruppe selbst. Die in dieser Arbeit verwendeten Formalismen und Resultate aus der Operatortheorie und der zweiten Quantisierungsmethode werden im Anhang zur Verfuegung gestellt.