Die verselle Deformation zyklischer Quotientensingularitäten: Gleichungen und torische Struktur

Abstract

Im Zentrum der vorliegenden Arbeit steht die Deformationstheorie zweidimensionaler zyklischer Quotientensingularitäten. Das Hauptergebnis des ersten Teils der Arbeit ist eine explizite Konstruktion der versellen Deformation mittels gewisser Wurzelbäume. Dies läuft auf den Beweis einer Vermutung von Brohme hinaus. Der zweite Teil behandelt die Monodromieüberlagerung der versellen Deformation. Wie die Ausgangssingularität selbst sind auch die Totalräume über den Komponenten des reduzierten Basisraums dieser Deformation - und allgemeiner die Totalräume über deren Durchschnitten - affine torische Varietäten und können somit jeweils durch einen polyedrischen Gitterkegel beschrieben werden. Es wird eine Konstruktion eines Systems solcher Kegel hergeleitet, welches auch die Durchschnitte einbezieht. Anschließend wird die kombinatorische Struktur der Kegel dieses Systems beschrieben. Zuletzt wird eine gewisse Dualität im Zusammenhang mit der Artinkomponente gezeigt.

The central subject of this thesis is the deformation theory of two-dimensional cyclic quotient singularities. The main result of the first part of the thesis is an explicit construction of the versal deformation using certain rooted trees. This amounts to prove a conjecture of Brohme. The second part deals with the monodromy covering of the versal deformation. Just as the original singularity itself, the total spaces over the components of the reduced base space of this deformation - and, more generally, the total spaces over their intersections - are affine toric varieties, so they admit a description by polyhedral lattice cones. We develop a construction of a system of such cones which includes the intersections, too. Then we describe the combinatorial structure of these cones. Finally we show a certain duality concerning the Artin component.