Quantization of Super Teichmüller Spaces

Abstract

Die Quantisierung der Teichmüller-Räume von Riemannflächen hat wichtige Anwendungen in konformen Feldtheorien und in N = 2 supersymmetrischen Eichtheorien gefunden. Wir konstruieren eine Quantisierung der Teichmüller-Räume von super-Riemannschen Flächen, unter Verwendung von Koordinaten, die mit den idealen Triangulationen der super-Riemannschen Flächen assoziiert sind. Ein neues Merkmal ist die nichttriviale Abhängigkeit von der Wahl der Spinstruktur, welche kombinatorisch in einer gewissen Verfeinerung der idealen Triangulationen kodiert werden kann. Wir konstruieren eine projektive unitaere Darstellung des Gruppoids der Änderungen der verfeinerten idealen Triangulationen. Dadurch zeigen wir, dass die Abhängigkeit der resultierenden Quantentheorie von der Wahl der Triangulation nicht wesentlich ist. In der Quanten-Teichmüller-Theorie wurde beobachtet, dass der entscheidende Bestandteil der Teichmüller-Theorie in enger Verbindung mit der Darstellungstheorie der Borelhälfte der Uq(sl(2)) steht. Bei unserer Forschung haben wir beobachtet, dass die Rolle der Uq(sl(2)) von einer Quanten-Superalgebra übernommen wird. Eine Borelhälfte der Uq(osp(1|2)) ist die Quanten-Superebene. Das kanonische Element des Heisenbergdoppels der Quanten-Superebene wird in einer bestimmten unendlichdimensionalen Darstellung auf L2(R) C1|1 ausgewertet und mit dem Flip-Operator der Teichmüller-Theorie von super-Riemannflächen vergleichen.

The quantization of the Teichmüller spaces of Riemann surfaces has found important applications to conformal field theory and N = 2 supersymmetric gauge theories. We construct a quantization of the Teichmüller spaces of super Riemann surfaces, using coordinates associated to the ideal triangulations of super Riemann surfaces. A new feature is the non-trivial dependence on the choice of a spin structure which can be encoded combinatorially in a certain refinement of the ideal triangulation. We construct a projective unitary representation of the groupoid of changes of refined ideal triangulations. Therefore, we demonstrate that the dependence of the resulting quantum theory on the choice of a triangulation is inessential. In the quantum Teichmüller theory, it was observed that the key object defining the Teichmüller theory has a close relation to the representation theory of the Borel half of Uq(sl(2)). In our research we observed that the role of Uq(sl(2)) is taken by quantum superalgebra Uq(osp(1|2)). A Borel half of Uq(osp(1|2)) is the super quantum plane. The canonical element of the Heisenberg double of the quantum super plane is evaluated in certain infinite dimensional representations on L2(R) C1|1 and compared to the flip operator from the Teichmüller theory of super Riemann surfaces.