Rekonstruktionsverfahren auf unstrukturierten Gittern zur numerischen Simulation von Erhaltungsprinzipien

Abstract

In der Arbeit werden explizite Finite-Volumen-Methoden für unstrukturierte Gitter behandelt. Hiermit werden hyperbolische Erhaltungsgleichungen, insbesondere die Euler-Gleichungen der Gasdynamik, diskretisiert. Im Vordergrund steht die Steigerung der Genauigkeit von Finite-Volumen-Verfahren, für die zwei sich ergänzende Ansätze beschrieben werden: Einerseits die Steigerung der Fehlerordnung in hinreichend glatten Bereichen der Lösung im Rekonstruktionsschritt des Finite-Volumen-Verfahrens und andererseits die lokale Gitteradaption zur verbesserten Auflösung von Unstetigkeiten. Zur Steigerung der Fehlerordnung werden polynomielle Rekonstruktionsverfahren untersucht. Hier werden lineare Algorithmen angewendet, die allerdings in Bereichen von Unstetigkeiten zu stark oszillierenden Rekonstruktionen führen. Zur Dämpfung der Oszillationen wird ein neues Limitierungsverfahren vorgestellt, mit dem in hinreichend glatten Bereichen der Lösungen die hohe Fehlerordnung einer zuvor berechneten Rekonstruktion erhalten bleibt. Einer Analyse dieses Verfahrens schließt sich ein Vergleich in numerischen Beispielen mit anderen Limitierungsansätzen und den gewichteten ENO-Verfahren an.

Weiterhin wird die Theorie der optimalen Rekonstruktion und der radialen Basisfunktionen auf das Rekonstruktionsproblem im Finite-Volumen-Verfahren übertragen. Die Untersuchungen zeigen, daß für den Fall unstrukturierter Gitter diese Ansätze ohne einen qualitativen Gewinn deutlich kostenintensiver als polynomielle Verfahren sind.

In der Arbeit wird die lokale Gitteradaption für zweidimensionale Triangulierungen beschrieben. Es werden neue Algorithmen zur Indikation von Unstetigkeiten, zur Interpolation zwischen einzelnen Gittern sowie zur lokalen Verfeinerung und Vergröberung von Triangulierungen vorgestellt. Anhand von Anwendungsbeispielen wird demonstriert, daß die lokale Gitteradaption eine erhebliche Beschleunigung und Speicherersparnis gegenüber global feinen Gittern ermöglicht. Eine zusätzliche Beschleunigung des Finite-Volumen-Verfahrens kann durch Parallelisierung erreicht werden. Hierfür wird eine einfache Methode dargestellt.