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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-24636
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2005/2463/


On the Asymptotics of the LRT in Mixture Models

Über die Asymptotik des LRT in Mischungsmodellen

Ruck, Astrid

pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (1.680 KB) 


SWD-Schlagwörter: Asymptotik
Freie Schlagwörter (Deutsch): Likelihood Quotiententest , Komponentenanzahl , Mischungsmodelle
Freie Schlagwörter (Englisch): Asymptotics , Likelihood Ratio Test , Number of Components , Mixture Models
Basisklassifikation: 31.73
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Daduna, Hans (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 19.04.2005
Erstellungsjahr: 2005
Publikationsdatum: 31.05.2005
Kurzfassung auf Englisch: The subject of this thesis is the asymptotic distribution of the Likelihood Ratio Test (LRT) statistic of hypotheses about the number of components in finite mixture models. Our starting point are the sufficient conditions for the existence of a limiting distribution of the LRT statistic for testing q against p components given by Dacunha-Castelle and Gassiat (1999). An analysis shows that these requirements do not hold, for instance, for "simple" mixtures of univariate normal distributions with heterogeneity of variances. After our modifications of the sufficient conditions given by Dacunha-Castelle and Gassiat (1999) a wider range of applications of their theory is offered.





Additionally, we derive sufficient conditions for the existence of a limiting distribution of the LRT statistic for mixtures of general minimal exponential families. Afterwards we provide a set of various (new) examples for Gaussian-distributions, Gamma-distributions and discrete distributions possessing these properties. Our first modification offers testing for q against q+1 components of bivariate normal distributions with unknown (arbitrary) covariance matrix and our second modification offers testing homogeneity against a two population mixture of univariate normal distributions with heterogeneity of variances, if the component parameter space is suitably restricted.




Finally, a method for simulating the quantiles the asymptotic distribution is introduced. Under the null hypothesis the LRT statistic converges in distribution to a supremum of a functional of a suitable Gaussian process, which we approximate with the aid of its final-dimensional marginal distributions. Considering as example a simple test of homogeneity of univariate normal distributions with unknown mean we give numerical results of this general method. In this context we introduce a modified spectral factorization on the resulting covariance matrix, whose outcome is a product of surprisingly low dimensional matrices and leads to considerably short computation times. A comparison of the power of the simulated asymptotic and exact quantiles shows that even for a small sample size the power is nearly the same.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit wird die asymptotische Verteilung der Likelihood Ratio Test (LRT) Statistik von Hypothesen über die Anzahl der Komponenten in endlichen Mischungsmodellen untersucht.
Unser Ausgangspunkt sind die hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Grenzverteilung der LRT Statistik für den Test von q gegen p Komponenten von Dacunha-Castelle und Gassiat (1999). Eine Analyse zeigt, daß diese Voraussetzungen, die sich auf allgemeine Mischungsmodelle beziehen, beispielsweise nicht für "einfache" Mischungen von univariaten Normalverteilungen mit Varianzheterogenität erfüllt sind. Durch unsere Modifikationen der hinreichenden Bedingungen von Dacunha-Castelle und Gassiat (1999) wird ihrer Theorie ein breiteres Anwendungsspektrum verliehen.




Zusätzlich leiten wir hinreichende Bedingungen für die Existenz einer Grenzverteilung der LRT Statistik für Mischungen allgemeiner minimaler Exponentialfamilien her. Anschließend geben wir eine Reihe (neuer) Beispiele für Gauß-Verteilungen, Gamma-Verteilungen und diskrete Verteilungen an, die diese Eigenschaften aufweisen. Unsere erste Modifikation ermöglicht einen Test von q gegen q+1 Komponenten bivariater Normalverteilungen mit unbekannter (beliebiger) Kovarianzmatrix und unsere zweite Modifikation ermöglicht einen Homogenitätstest gegen zwei Populationen univariater Normalverteilungen mit Varianzheterogenität, wenn der Komponentenparameterraum geeignet eingeschränkt wird.




Schließlich wird eine Methode für die Simulation der Quantile der asymptotischen Verteilung vorgestellt. Unter der Nullhypothese konvergiert die LRT Statistik in Verteilung gegen ein Supremum eines Funktionals eines geeigneten Gaußprozesses, den wir mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen approximieren. Am Beispiel eines einfachen Homogentitätstests von univariaten Normalverteilungen mit unbekanntem Erwartungswert geben wir numerische Ergebnisse
für dieses allgemeine Verfahren an. In diesem Zusammenhang führen wir eine modifizierte Spektralzerlegung der entsprechenden Kovarianzmatrix ein, die ein Produkt aus überraschend niedrigdimensionalen Matrizen ist und zu bemerkenswert kurzen Rechenzeiten führt. Ein Vergleich der Power der simulierten asymptotischen und exakten Quantile zeigt, daß schon für einen relativ kleinen Stichprobenumfang die Power fast identisch ist.

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