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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-26026
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2005/2602/


Analysis of Natural Function Spaces and Dynamics on Noncompact Manifolds under Symmetry

Analysis natürlicher Funktionenräume und Dynamik auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten unter Symmetrie

Merker, Jochen

pdf-Format:
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SWD-Schlagwörter: Analysis , Lokalkonvexer Raum , Nichtkompakte Mannigfaltigkeit , Symmetriegruppe , Differentialgleichung / Dynamisches System
Freie Schlagwörter (Englisch): Analysis , locally convex spaces , noncompact manifolds , symmetry groups , differential equations / dynamical systems
Basisklassifikation: 31.46 , 31.45 , 31.62
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Lauterbach, Reiner (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 14.07.2005
Erstellungsjahr: 2005
Publikationsdatum: 12.09.2005
Kurzfassung auf Englisch: The main goal of this doctoral thesis is to discuss the foundations of dynamical systems, whose state space is a space of maps defined on a noncompact domain and whose dynamics are compatible with the symmetries of this domain.



Obviously, a mathematical rigorous treatment of such dynamical systems requires to specify, which spaces of maps are used, e.g. Sobolev spaces. However, regarding pattern formation on noncompact manifolds under
symmetry, solutions of dynamical equations within the class of Sobolev
vector fields do not include typical patterns with noncompact
symmetries, as they vanish at infinity. But even if solutions within
other Banach spaces of maps can be established, the problem remains
that for noncompact manifolds the symmetry group in general does not act continuously on Banach spaces of maps, as it acts by

composition, but composition and evaluation are not continuous.



Therefore, in this thesis locally convex spaces of maps like the local
Sobolev spaces are used to model dynamical systems, where composition,
evaluation and thus also the symmetry action are continuous. However,
as the analysis of such natural function spaces is not far developed
in literature, a main task of this thesis is to extend the analysis to
such spaces, and to provide theorems used in the study of dynamical
equations. Contrary to the category of normable spaces, the category
of locally convex spaces is not tensorial closed, and thus there is no
natural space of continuous linear maps between locally convex
spaces. A problem is that it is not clear how to define
continuously differentiable maps. However, by using a tensorial closed
category of vector spaces endowed with a slightly more general
topological structure than a locally convex topology, this problem can
be solved and a sufficient differential calculus can be developed.



But analysis requires more than just a differential calculus:
Differential equations must be solved, an inverse function theorem is
needed, and other theorems of classical analysis must be transfered to
the new setting. However, on locally convex spaces there exist locally
not solvable differential equations with continuous linear right hand
side, so that a precise discussion is needed. Also here our choice
of the tensorial closed category is helpful, because it guarantees
that continuously differential maps are locally Lipschitz continuous,
so that solvability of differential equations can be characterized by
growing conditions. Finally, also manifolds modeled on complete
locally convex topological vector spaces are considered.



After having laid the analytic foundations, in the second part of this
thesis fluid dynamical systems and pattern formation on noncompact
manifolds are discussed. It is shown that fluid dynamical equations like
those modeling inviscous compressible fluids can be modeled using
natural spaces of maps, the pattern formation under symmetry in the Banach
case and in the locally convex case is compared, and methods to obtain
the bifurcation equation in the locally convex case are developed.
Kurzfassung auf Deutsch: Das Hauptziel dieser Doktorarbeit ist es, die Grundlagen dynamischer Systeme zu entwickeln, deren Zustandsraum ein Raum von Abbildungen auf
einem nichtkompakten Gebiet und deren Evolution kompatibel mit den
Symmetrien des Gebietes ist.



Ein rigoroses Studium solch dynamischer Systeme erfordert natürlich,
den benutzten Raum von Abbildungen festzulegen, z.B. einen
Sobolev-Raum. Für die Untersuchung von Musterbildung unter Symmetrie
auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten ist die Wahl eines
Sobolev-Raumes aber ungünstig, da die Differenz von Mustern mit
unterschiedlicher nichtkompakter Symmetrie nicht im Unendlichen
verschwindet und somit durch kein Sobolev-Vektorfeld repräsentiert
werden kann. Auch die Benutzung anderer Banachräume ist keine
Alternative, da für nichtkompakte Mannigfaltigkeiten i.a. die
Symmetrie nicht stetig auf Banachräumen operiert, denn Komposition
von und das Einsetzen in Abbildungen ist dort nicht stetig.



Deswegen werden in dieser Arbeit lokalkonvexe Räume von Abbildungen
wie lokale Sobolev-Räume benutzt, auf denen die Komposition, die
Evaluation und somit auch die Symmetrie-Operation stetig ist. Jedoch
ist die Analysis solch natürlicher Funktionenräume bisher nicht so
weit entwickelt, daß man dynamische Systeme mit analytischen Methoden
untersuchen kann. Dort Abhilfe zu schaffen, ist eines der Hauptziele
der Arbeit. Nun ist im Gegensatz zur Kategorie der normierbaren Räume
die Kategorie der lokalkonvexen Räume leider nicht tensoriell
abgeschlossen, so daß der Raum der stetigen linearen Abbildungen
zwischen lokalkonvexen Räumen nicht in natürlicher Weise mit einer
Topologie versehen werden kann. Insbesondere erschwert dies die
Definition von stetig differenzierbaren Abbildungen. Dieses Problem
wird hier gelöst, indem eine tensoriell abgeschlossene Kategorie von
Räumen mit einer nur wenig allgemeineren Strukutur als einer
lokalkonvexen Topologie konstruiert wird. Diese erlaubt dann die
Entwicklung eines leistungsfähigen Differentialkalküls.



Aber Analysis ist mehr als ein Differentialkalkül: Man muß

Differentialgleichungen lösen k"onnen, benötigt einen Satz über
implizite Funktionen und auch andere Sätze der klassischen
Banachraum-Analysis. Aber z.B. existieren auf vollständigen
lokalkonvexen R"aumen stetige lineare Differentialgleichungen, die
lokal nicht lösbar sind, so daß eine präzise Diskussion notwendig
ist. Auch hier hilft die betrachtete Kategorie weiter, denn stetig
differenzierbare Abbildungen sind automatisch lokal Lipschitz stetig,
so daß man die Lösbarkeit von Anfangswertaufgaben durch

Wachstumsbedingungen charakterisieren kann. Ebenso wird die
Modellierung von Mannigfaltigkeiten über vollständigen lokalkonvexen
Räumen diskutiert.



Nachdem die analytischen Grundlagen gelegt sind, wird im zweiten
Teil der Arbeit Fluiddynamik und Musterbilldung auf nichtkompakten
Mannigfaltigkeiten diskutiert. Es wird gezeigt, daß inviskose
kompressible Fluide mittels natürlicher Funktionenräume modelliert werden k"onnen, es wird die Musterbildung unter Symmetrie im
Banach- und im lokalkonvexen Fall miteinander verglichen, und
Methoden zur Gewinnung der Bifurkationsgleichung im lokalkonvexen Fall

werden entwickelt.

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