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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-33156
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2007/3315/


Zeitdiskrete Markovsche Entscheidungsprozesse zur optimalen Steuerung von Versicherungsunternehmen : Der stationäre, nichtstationäre und adaptive Fall

Welbers, Andreas

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Basisklassifikation: 31.80
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Hübner, Gerhard (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 24.01.2007
Erstellungsjahr: 2007
Publikationsdatum: 29.05.2007
Kurzfassung auf Deutsch: Diese Arbeit hat das Ziel, ein stochastisches dynamisches Steuerungsmodell für ein Versicherungsunternehmen
auf einer diskreten Zeitachse zu entwickeln, welches die betrieblichen Zahlungsströme bzgl. eines aus Gewinn,
Sicherheit und Dividenden bestehenden Zielsystems optimal regelt. Dabei haben sich die Methoden der zeitdiskreten
Markovschen Entscheidungsprozesse mit reellen Zustands- und Aktionsraum als besonders geeignet erwiesen.

Die Untersuchung gründet sich auf ein stationäres Markovsches Ausschüttungsmodell, d.h. auf einem
Entscheidungsmodell mit der erwarteten Summe der zukünftigen Dividendenzahlungen als Zielfunktion. Da das (Neben-)Ziel
Sicherheit bei der Konstruktion der Menge der zulässigen Ausschüttungen berücksichtigt wird und der
erwirtschaftete Gewinn bei finanzieller Stärke vollständig als Dividendenzahlung an die Unternehmenseigner zurückfließt,
genügt dieses Modell den praxisbezogenen Vorstellungen einer optimalen Unternehmenspolitik.

Der zentrale Schlüssel zur Bestimmung optimaler Strategien ist die Optimalitätsgleichung der
Dynamischen Programmierung, mit der man jeweils für eine Stufe die optimale Entscheidung erhält. Für eine Reihe
von Varianten des Grundmodells werden nach diesem Prinzip die optimalen Strategien bestimmt, beginnend mit der Annahme eines
endlichen Zeithorizonts, insbesondere auch für Modelle mit Rückversicherung, mit Währungsrisiko oder mit
Kapitalanlage.

In vielen Fällen ergibt sich bei jeder Stufe die Isotonie der Zielfunktion auf der Menge der zulässigen Ausschüttungen. Dann
hat die optimale Politik eine besonders einfache Struktur: Es wird der maximal zulässige Betrag ausgeschüttet. Dadurch wird
die Untersuchung der entsprechenden Optimierungsprobleme auch bei unbeschränktem Zeithorizont erleichtert, ebenso die
Betrachtung von adaptiven Ausschüttungsmodellen mit Hilfe begleitender Parameterschätzungen oder mit
Bayes-Modellen.

In den meisten anderen Modellen liegt wenigstens Konvexität vor und damit die Entscheidung zwischen voller oder
keiner Ausschüttung. In diesem Fall muss man in der Regel numerische Lösungsverfahren heranziehen, zum Beispiel das
Simulated-Annealing-Verfahren, was naturgemäß nur zu nährungsweiser Optimalität führt.

Durch die Flexibilität des Grundmodells sind auch nichtstationäre Modelle zugelassen. Ebenso ist eine Erweiterung des
Zustands- und Aktionsraumes mit zusätzlichen Komponenten möglich, wodurch gewisse Parameter des Modells über eine
eigene Dynamik verfügen können. Damit kann auch die Problematik der Spätschäden und der
zufälligen Inflation berücksichtigt werden.

Außerdem lässt sich die gleiche Methodik auf ein bankwirtschaftliches Ausschüttungsmodell anwenden, da es lediglich
auf die Änderungen des Kapitalzustands in der Zeit ankommt. Dabei ist es unwichtig, welche Vorzeichen die zufallsbedingten
Größen haben.

Die in dieser Arbeit vorgestellten und untersuchten Ausschüttungsmodelle sind ein wesentliches und nützliches Werkzeug
für viele Aspekte der Strategischen Planung eines Versicherungsunternehmens.

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