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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-37305
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2008/3730/


Quantum Groups and Field Theory

Quantengruppen und Feldtheorie

Tsouchnika, Efrossini

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Basisklassifikation: 33.24 , 31.29 , 31.27
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Schweigert, Christoph (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 04.06.2008
Erstellungsjahr: 2008
Publikationsdatum: 15.07.2008
Kurzfassung auf Englisch: In this work we study three different aspects of quantum groups and their representation categories in field theories.

We construct the quantum symmetries for classical field theories in two different types of noncommutative spaces, namely the theta-space and the kappa-space. These are quantum groups and result as deformations of the Poincaré algebra of the classical space. For the theta-space there exists a unique two-parameter-family of solutions, for the kappa-space we restrict ourselves to the simplest solution. Furthermore, we compute invariants and construct global vector fields for these two noncommutative spaces.

For Wess-Zumino-Witten models and (super-)minimal models in the Cardy case we determine the Kramers-Wannier dualities by means of the TFT approach to full rational conformal field theory. The Grothendieck ring of the modular tensor category determines the duality classes. For the A-series of Wess-Zumino-Witten models and the Virasoro minimal models we use properties of the S-matrix, for the B-, C-, D-series and the exceptional algebras E_6 and E_7 we use the quantum dimension of fixed points. Dualities appear only at low level. The modular tensor categories for (A_1)_2 and (B_r)_1 have Ising fusion rules. For (E_7)_2 the fusion rules are isomorphic to those of the tricritical Ising model.

The Tannaka-Krein reconstruction theorem is generalized to weak quantum groups. Starting from a theorem by Ostrik (2003) we prove the equivalence of the category of structures of a module category and the category of fiber functors into the category of bimodules over a separable algebra. We prove that the natural endotransformations of such a fiber functor have the structure of a weak quantum group. We determine the weak quantum group for graded vector spaces.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit untersuchen wir drei verschiedene Aspekte von Quantengruppen und ihren Darstellungskategorien in Feldtheorien.

Für klassische Feldtheorien auf zwei verschiedenen Typen von nichtkommutativen Räumen, nämlich dem theta-Raum und dem kappa-Raum, konstruieren wir die Quantensymmetrien. Diese sind Quantengruppen und ergeben sich als Deformationen der Poincaréalgebra des klassischen Raums. Für den theta-Raum gibt es eine eindeutige Zwei-Parameter-Familie von
Lösungen, für den kappa-Raum schränken wir uns auf die einfachste Lösung ein. Weiterhin berechnen wir für diese beiden nichtkommutativen Räume Invarianten und konstruieren globale Vektorfelder.

Für Wess-Zumino-Witten-Modelle und (super-)minimale Modelle im Cardy-Fall bestimmen wir mit Hilfe des TFT Zugangs
zur vollen konformen Feldtheorie die Kramers-Wannier-Dualitäten. Der Grothendieckring der modularen Tensorkategorie legt die Dualitätsklassen fest.
Für die A-Serie von Wess-Zumino-Witten-Modellen und die Virasoro minimalen Modelle benutzen wir Eigenschaften der S-Matrix, für die B-, C-, D-Serien und die exzeptionellen Algebren E_6 und E_7 schätzen wir die Quantendimension von Fixpunkten ab. Es zeigt sich, dass Dualitäten nur bei niedrigem Level auftreten. Die modularen Tensorkategorien für (A_1)_2 und (B_r)_1 haben die selben Fusionsregeln wie das Isingmodell. Für (E_7)_2 sind die Fusionsregeln isomorph zu denen des trikritischen Isingmodells.

Das Tannaka-Krein Rekonstruktionstheorem wird für schwache Quantengruppen verallgemeinert. Ausgehend von einem Satz von Ostrik (2003) zeigen wir die Äquivalenz zwischen der Kategorie der Strukturen einer Modulkategorie und der Kategorie der Faserfunktoren in die Kategorie der Bimoduln über einer separablen Algebra. Wir beweisen, dass die natürlichen Endotransformationen eines solchen Faserfunktors die Struktur einer schwachen Quantengruppe besitzen. Für
graduierte Vektorräume bestimmen wir die schwache Quantengruppe.

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