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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-40383
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2009/4038/


Modeling Dependencies in Large Insurance Claims

Modellierung von Abhängigkeiten bei Versicherungsgroßschäden

Müller, Peter

Originalveröffentlichung: (2008) Drees, H., Müller, P. (2008): Fitting and validation of a bivariate model for large claims. In: Insurance: Mathematics and Economics 42, 638-650
pdf-Format:
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SWD-Schlagwörter: Extremwertstatistik , Risiko , Versicherungsmathematik , Abhängigkeit , Stochastische Abhängigkeit , Validierung , Katastrophenrisiko , Verteilungsend
Freie Schlagwörter (Deutsch): Großschaden , Modellvalidierung , Copula , multivariates Verteilungsende
Freie Schlagwörter (Englisch): extreme value theory , bivariate tail estimation , medical claims , Danish fire insurance , copula
Basisklassifikation: 31.80 , 31.70 , 31.73
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Drees, Holger (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 11.07.2008
Erstellungsjahr: 2008
Publikationsdatum: 11.03.2009
Kurzfassung auf Englisch: In the Preface, we start to discuss the two main motivations of this work - first, the failing of the classical multivariate extreme value theory when estimating the probability of jointly large claims p in the case of asymptotic independence of the claim sizes, and second, the lack of flexibility (and to some extent the arbitrariness) of many popular copula approaches. These issues are discussed several times in the work, in particular in Section 1.2.3 and Chapter 6, respectively. We extend a model of Ledford and Tawn (1996, 1997, 1998) for the joint
tail distribution of bivariate claim sizes which overcomes these obstacles. We already see in Section 2.2.2 that the scaling law which holds in the Extended Ledford and Tawn Model offers an access to the case of asymptotic independence which overcomes the problems of the classical multivariate extreme value theory and preserves flexibility. Essentially, the procedure of estimating
p may be summarized as follows. Estimate the distribution of the marginals, standardize the observations to the unit square, estimate the coefficient of tail dependence n, choose an
appropriate scaling factor r to estimate the probability of a jointly large claim which has been observed sufficiently often and scale down this probability
with the pertaining factor.

In Chapter 2 we establish asymptotic representations for the Hill estimator and the maximum likelihood estimator of n. This enables us to prove asymptotic normality of an estimator of p which makes use of the scaling law in the described way. We show that this asymptotic normality holds if either the error when estimating n or when estimating the marginals dominates. We devise a graphical tool to choose an appropriate scaling factor r and an appropriate number of tail-observations used for the estimation of p, respectively. Further, we prove that the suitably
standardized process of the difference of the model-relevant limiting function c and the proposed estimator of c converges to a centered Gaussian process. This result also holds if the parameter r to select is a random variable, which is natural and important for applications.

A method to validate the scaling law is developed in Chapter 4. We prove asymptotic normality of random deviations from the scaling law and construct a test that is applied to the standardized observations. In order to obtain a uniform test for the entirety of the (standardized) observations, we prove results on the empirical process and on the Gaussian limiting process
of the random deviations from the scaling law.

We demonstrate the usefulness of the developed theory by real-life claims data in Chapter 5. We see that the assumption of independence of the claim sizes may underestimate the real risk, that the empirical probability is useful only if the considered jointly large claim is observed sufficiently often, that the tool for validating the scaling law is able to check the appropriateness of the model and that the scaling law is satisfied for the insurance data under investigation.

In Chapter 6 we compare the Extended Ledford and Tawn Model with another model for multivariate tail dependence. We show that this copula approach exploits less relevant information and does not overcome the main problems and drawbacks of many popular copula approaches and the classical multivariate extreme value theory.

We conclude this summary with some remarks on possible model extensions and objectives for future research. As indicated e.g. in Sections 2.2.2 and 3.3, the basic model
Condition 2.2.1 implies that the scaling law, and hence the idea of the estimation of p, also holds for more general sets than rectangles, cf. also Figure 2.1. For these
more general sets, appropriate generalizations of the results of this work shall be found. Further, as remarked in Section 4.5, since the convergence of the weighted limiting process $L$ works with a smaller weight function and without the stronger uniform condition (4.24), one may assume that an analogous result holds for the empirical
process. To find a proof of such a result is another task for future research. Finally, a more thorough investigation of the impact of the data choice when we face some censoring as in Chapter 5 is desirable. We see in the examples in Chapter 5 that if claims are recorded only if their sum exceeds some threshold, the decision whether to use the data when both components exceed this threshold or when at least one component exceeds this threshold influences the estimates of model parameter(s) (statistically) significantly (although the impact on the estimates of p is not significant). It has to be analyzed more thoroughly which data should be used in which situation.
Kurzfassung auf Deutsch: Motivation für diese Arbeit ist insbesondere das Versagen der klassischen multivariaten Extremwerttheorie bei der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten p des gleichzeitigen
Auftretens von Versicherungsgroßschäden in verschiedenen Risikobeständen, wenn die Schadenhöhen asymptotisch unabhängig sind, sowie die (Willkür und) mangelnde Flexibilität vieler für solche Schätzungen verwendeten Copula-Modelle. Diese Probleme werden mehrfach thematisiert, insbesondere im Vorwort und in den Kapiteln 1.2.3 und 6. Es wird ein Modell von Ledford und Tawn (1996, 1997, 1998) für das gemeinsame Verteilungsende der bivariaten Schadenhöhenverteilung erweitert, das diese Probleme überwindet. Die Grundidee dieses
Modells besteht darin, die zu p gehörende Ereignismenge mit Hilfe eines Skalierungsfaktors r so zu vergrößern, dass in der entstehenden Ereignismenge hinreichend viele Beobachtungen für eine stabile Schätzung mit Hilfe empirischer Wahrscheinlichkeiten vorhanden sind. Das Skalierungsgesetz, das im Erweiterten Modell von Ledford und Tawn gilt, besagt, dass mit Hilfe des zentralen Modellparameters, dem Koeffizienten n der Abhängigkeit im gemeinsamen Verteilungsende, die Wahrscheinlichkeit p aus der (empirischen) Wahrscheinlichkeit der vergrößerten Ereignismenge durch Multiplikation mit (einer Schätzung von) r^{-1/n} erhalten wird. Schon in Kapitel 2.2.2 wird deutlich, dass im Erweiterten Modell von Ledford und Tawn die Probleme der klassischen multivariaten Extremwerttheorie nicht auftreten und dennoch hohe Flexibilität gewährleistet ist. Das Vorgehen zur Schätzung einer Wahrscheinlichkeit wie p kann im Wesentlichen wie folgt zusammengefasst werden. Schätze die Marginalverteilungen, standardisiere die
Beobachtungen auf das Einheitsquadrat, schätze n, wähle einen geeigneten Skalierungsfaktor r um die Wahrscheinlichkeit eines gemeinsamen (Großschaden-) Ereignisses, das
hinreichend oft beobachtet werden konnte, zu schätzen und skaliere diese Wahrscheinlichkeit mit einer Schätzung von r^{-1/n}.

In Kapitel 3 werden asymptotische Darstellungen für Schätzer von n entwickelt. Mit Hilfe dieser Darstellungen wird dann asymptotische Normalität eines Schätzers von p gezeigt, der auf dem Skalierungsgesetz beruht. Es wird bewiesen, dass diese asymptotische Normalität gilt wenn der statistische Fehler zur Schätzung von n oder der statistische Fehler zur Schätzung der Marginalverteilungen dominiert. Ein grafisches Analysewerkzeug zur Wahl eines geeigneten Skalierungsfaktors r beziehungsweise zur Wahl der Anzahl der zur Schätzung von p verwendeten Daten wird entwickelt. In Kapitel 3 wird außerdem bewiesen, dass der geeignet standardisierte Prozess der Differenz der für das Modell relevanten Grenzfunktion c und eines Schätzers von c gegen einen zentrierten Gauß-Prozess konvergiert. Dieses Resultat wird dann auf den Fall eines zufälligen Skalierungsfaktors r erweitert, was ein natürlicher und für Anwendungen wichtiger Fall ist.

Eine Methode zur Validierung des für das Modell zentralen Skalierungsgesetzes wird in Kapitel 4 entwickelt. Es wird bewiesen, dass die zufälligen Abweichungen vom Skalierungsgesetz asymptotisch normalverteilt sind. Ein auf diesem Resultat basierender statistischer Test wird konstruiert. Um einen gleichmäßigen Test für die Gesamtheit der standardisierten
Beobachtungen zu erhalten, werden außerdem Resultate zur gleichmäßigen Konvergenz des empirischen Prozesses und zum Gauß'schen Grenzprozess der zufälligen Abweichungen vom Skalierungsgesetz bewiesen.

Die Nützlichkeit der entwickelten Theorie wird in Kapitel 5 an Hand von Schadendatensätzen aus der Versicherungspraxis demonstriert. Es wird gezeigt, dass die Annahme der
Unabhängigkeit der Schadenhöhen in verschiedenen Risikobeständen das tatsächliche Risiko unterschätzen kann, dass die empirische Wahrscheinlichkeit meist nur dann nützlich ist, wenn das betrachtete (Großschaden-) Ereignis hinreichend oft beobachtet wurde, dass das vorgeschlagene Verfahren zur Validierung des Skalierungsgesetzes die Eignung des Modells überprüfen kann und dass das Skalierungsgesetz für die betrachteten Schadendaten erfüllt ist.

In Kapitel 6 wird das Erweiterte Modell von Ledford und Tawn mit einem anderen Modell für Abhängigkeiten im multivariaten Verteilungsende verglichen. Es wird gezeigt, dass dieser Copula-Ansatz viele für die Schätzung von p wesentliche Informationen nicht nutzt und damit die Schwierigkeiten und Nachteile der vieler anderer Copula-Modelle und der klassischen mulitvariaten Extremwerttheorie nicht überwinden kann.

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