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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-43246
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2009/4324/


Sufficient Optimality Conditions for Nonsmooth Optimal Control Problems

Hinreichende Optimalitätsbedingungen für nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben

Rosendahl, Ricki

pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (1.383 KB) 


SWD-Schlagwörter: Numerische Mathematik
Freie Schlagwörter (Deutsch): Optimale Steuerung , Hinreichende Optimalitätsbedingungen , Nichtglattes Problem , Riccati Differentialgleichung , Schaltfunktion
Freie Schlagwörter (Englisch): Optimal control , Sufficient optimality conditions , Nonsmooth Problem , Riccati Differntial Equation , Switching Function
Basisklassifikation: 31.76 , 31.80 , 31.44
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Oberle, Hans Joachim (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 02.09.2009
Erstellungsjahr: 2009
Publikationsdatum: 26.10.2009
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit werden hinreichende Optimalitätsbedingungen
für nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben betrachtet.
Die hier behandelten Optimalsteuerungsaufgaben
sind unendlichdimensionale Optimierungsaufgaben
mit gewöhnlichen Differentialgleichungsnebenbedingungen.
Nichglatte Aufgaben treten auf, wenn der Integrand der Zielfunktion
oder die rechte Seite der Differentialgleichung unstetig ist.
Abhängig von dem Vorzeichen einer Schaltfunktion wird zwischen
unterschiedlichem dynamischen Verhalten geschaltet.

Einführend werden glatte Optimalsteuerungsaufgaben
mit freier Endzeit betrachtet.
Dann werden Aufgaben mit endlich vielen Schaltpunkten
im regulären und singulären Fall behandelt.
Eine weitere Aufgabenklasse sind Optimalsteuerungsaufgaben mit
freier Steuerung. Hier verschwindet auf Teilintervallen
der Einfluss mancher Steuerkomponenten.

Durch die Anwendung der Multiprozesstechnik
werden neue hinreichende Optimalitätsbedingungen entwickelt.
Dabei wird die nichtglatte Aufgabe
durch Telescoping in eine glatte Optimalsteuerungsaufgabe transformiert.
Auf diese Aufgabe können bekannte hinreichende Optimalitätsbedingungen
angewendet werden.
Eine Rücktransformierung führt zu den gewünschten Aussagen.
Zum Einen werden die hinreichenden Optimalitätsbedigungen
von Mangasarian auf die transformierte Aufgabe angewendet.
Zum Anderen werden allgemeinere Bedingungen von
Maurer und Pickenhain betrachtet.
So erhält man eine
Matrix-Riccati-Differentialgleichung mit zusätzlichen
Rand- und Sprungbedingungen.

Anhand von Beispielen wird die Anwendung der hinreichenden Bedingungen
erläutert und Schwierigkeiten bei der numerischen Berechnung
angegeben.
Hinreichende Bedingungen für das zeitminimale ReEntry-Problem
können gezeigt werden.
An einem Diodenproblem aus der Elektrotechnik und einem Navigationsproblem
werden hinreichende Bedingungen für nichtglatte
Optimalsteuerungsaufgaben im regulären
und singulären Fall untersucht.
Zwei Beispiele mit freier Steuerung werden angegeben. Dabei
konnten bei dem Erde-Mars Orbit Transfer Problem die hinreichenden
Bedingungen noch nicht gezeigt werden.
Für einfache nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben mit wenigen
Schaltpunkten führen die hier entwickelten Bedingungen
zu guten Resultaten.
Kurzfassung auf Englisch: In this exposition we deal with sufficient optimality conditions of nonsmooth optimal control problems.
We consider optimal control problems with ordinary differential equations. Since the integrand of the objective function and the right hand side of the state equation may contain discontinuities, we investigate nonsmooth problems.
We choose different dynamics depending on the sign of a switching function.

First we take a look at optimal control problems with free final time. Then we formulate sufficient conditions for problems with finitely many switching times in the regular and in the singular case. Furthermore, we investigate a class of problems with free control subarcs. Here, the influence of some control components vanish on subintervals.

With the application of a multiprocess technique we develop new sufficient optimality conditions. By telescoping, we transform the nonsmooth problem into a smooth optimal control problem. We then apply existing sufficient optimality conditions.
A transformation back to the original problem leads to the desired conditions.
On the one hand, we apply sufficient conditions formulated by Mangasarian. On the other hand we use the theory developed by Maurer and Pickenhain. Thus we obtain a matrix riccati differential equation with additional boundary and jump conditions.

By means of some examples, we discuss the application and difficulties of the here developed sufficient conditions.
We show sufficient optimality conditions for the time minimal ReEntry Problem.
We investigate a problem with diode and a navigation problem for the nonsmooth class.
Two examples are given with free control subarc. We could not show sufficient conditions for the Earth-Mars Orbit Transfer Problem yet.
For nonsmooth optimal control problems with small dimensions the here developed sufficient optimality conditions lead to good results.

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