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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-46036
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2010/4603/


On a differential equation with state-dependent delay: A global center-unstable manifold bordered by a periodic orbit

Ein periodischer Orbit einer Differentialgleichung mit zustandsabhängiger Verzögerung als Rand einer globalen zentral-instabilen Mannigfaltigkeit

Stumpf, Eugen

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Freie Schlagwörter (Deutsch): Differentialgleichung mit Verzögerung , periodischer Orbit , langsam schwingende Lösung , zentral-instabile Mannigfaltigkeit
Freie Schlagwörter (Englisch): differential equation with state-dependent delay , periodic orbit , slowly oscillating solution , center-unstable manifold
Basisklassifikation: 31.80 , 31.49 , 31.44
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Lauterbach, Reiner (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 23.04.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 25.05.2010
Kurzfassung auf Englisch: The main issue of this dissertation is the question whether periodic orbits of a delay differential equation still exist
if a state-dependent delay is assumed instead of a constant one. Motivated by a mathematical model to describe short term fluctuations of exchange rates, a one-parameter family of scalar delay differential equations is studied, where the positive parameter involved represents a kind of sensitivity to price changes. In the case of a constant delay, this family of equations was analyzed in different works in the last years, and so it is well known that at a certain critical parameter the single non-hyperbolic equilibrium solution loses its stability and is connected to a periodic orbit by a global center-unstable manifold. Consequently, one may ask whether this is still true in the situation of a state-dependent delay.

To address the above problem, the first part of this thesis is devoted to the discussion of a class of functional differential equations that was recently developed to study differential equations with a state-dependent delay. Besides a brief summary of some well-known facts, we establish the so-called principle of linearized instability and construct local center-unstable manifolds at stationary points for this class of functional differential equations. Additionally, we prove the continuous differentiability of the constructed manifolds.

The study of the introduced one-parameter family of delay differential equations with a state-dependent delay is the main goal of the second part of this work. Analyzing the structure of solutions and particularly their local behavior at the single equilibrium solution, we finally generalize the result on existence of periodic solutions in the situation of constant delay and prove that, under certain conditions on the delay function and for parameter values above a critical one, a global two-dimensional center-unstable manifold connects the equilibrium to a periodic orbit.
Kurzfassung auf Deutsch: Das Hauptanliegen der vorliegenden Dissertation ist die Klärung der Frage, ob eine spezielle verzögerte Differentialgleichung noch immer periodische Orbits aufweist, wenn die involvierte Verzögerung nicht mehr als konstant, sondern als zustandsabhängig angenommen wird. In der Arbeit wird eine 1-parametrige Familie von skalaren verzögerten Differentialgleichungen, die ein mathematischen Modell zur Beschreibung von kurzfristigen Schwankung von Wechselkursen repräsentiert, studiert. Hierbei stellt der auftretende Parameter eine Art von Sensitivität dar, mit der auf die Änderung von Kursen reagiert wird. Im Fall einer konstanten Verzögerung wurde diese Familie von Differentialgleichungen in den letzten Jahren sehr ausgiebig studiert und dabei insbesondere analytisch bewiesen, dass ab einem gewissen kritischen Parameterwert das einzige auftretende Equilibrium, das zudem nicht-hyperbolisch ist, seine Stabilität verliert und stattdessen durch Trajektorien in einer globalen zentral-instabilen Mannigfaltigkeit mit einer periodischen Lösung verbunden wird. Folglich stellt sich die Frage, ob dieses Szenario auch im Falle einer zustandsabhängigen Verzögerung auftritt.

Zur Erörterung der oben beschriebenen Fragestellung beschäftigt sich der erste Teil der vorliegenden Dissertation mit einer speziellen Klasse von Funktionaldifferentialgleichungen, die in den letzten Jahren für die analytische Untersuchung von Differentialgleichung mit zustandsabhängiger Verzögerung entwickelt worden ist. Neben einem kurzen Überblick über einige bekannte Sachverhalte wird hier auch das sogenannte Prinzip der linearisierten Instabilität und die Existenz
von lokalen zentral-instabilen Mannigfaltigkeiten an stationären Punkten für diese Klasse von Funktionaldifferentialgleichungen bewiesen. Zusätzlich wird die C^{1}-Glattheit dieser Mannigfaltigkeiten gezeigt.

Der zweite Teil der Arbeit ist dann der Untersuchung der eingeführten 1-parametrigen Familie von Differentialgleichungen mit zustandsabhängiger Verzögerung gewidmet. Durch das Studium der Struktur von Lösungen und vor allem deren lokalen Verhalten an dem einzigen auftretenden Equilibrium wird letztlich das Resultat über die Existenz von periodischen Orbits in der Situation der konstanten Verzögerung verallgemeinert und bewiesen, dass unter bestimmten Voraussetzungen an die Verzögerungsfunktion und im Falle eines über einem kritischen Wert liegenden Parameters eine globale zweidimensionale zentral-instabile Mannigfaltigkeit das Equilibrium mit einem periodischen Orbit verbindet.

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