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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-47728
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2010/4772/


Permutation equivariant ribbon categories from modular functors

Permutations-äquivariante Ribbon-Kategorien durch modulare Funktoren

Barmeier, Till

Originalveröffentlichung: (2010) T. Barmeier, J. Fuchs, I. Runkel, C. Schweigert: Module categories for permutation modular invariants. International Mathematical Research Notices, 2010(16):3067-3100. T. Barmeier, C. Schweigert: A geometric construction for permutation equivariant categories from modular functors, preprint. T. Barmeier: Permutation modular invariants from modular functors, preprint.
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SWD-Schlagwörter: Monoidale Kategorie , Konforme Feldtheorie
Freie Schlagwörter (Deutsch): modulare Funktoren
Freie Schlagwörter (Englisch): modular functors
Basisklassifikation: 31.27
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Schweigert, Christoph (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 10.09.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 21.09.2010
Kurzfassung auf Englisch: In this thesis we investigate a certain class of G-equivariant monoidal categories, where G is a finite group. As a special case for the symmetric group G=S_N we obtain the so-called permutation equivariant monoidal categories. Our construction is geometric, i.e. we give a G-equivariant modular functor that induces the structure of a G-equivariant monoidal category. As input we use a finite group G, a finite G-set X and a modular tensor category C.

The main idea of our construction is the definition of the so-called cover functor. This is the monoidal functor from the category Gcob(d) of G-bundles over d-dimensional cobordisms to the category cob(d) of d-dimensional cobordisms that maps a G-bundle to the total space of the bundle associated by the G-action on X.

As a first step we conduct our construction in a decategorified setting to get an ansatz for the abelian category in dependence of C and X. To this end we consider a commutative Frobenius-algebra R and pull back the induced topological field theory along the cover functor to obtain a G-equivariant topological field theory. Then we compute the G-Frobenius-algebra that is equivalent to this field theory.

By categorifying the structure of this G-Frobenius-algebra, we obtain a G-equivariant monoidal category C^X. Then we define a C^X-extended G-equivariant modular functor by applying the modular functor t that corresponds to the category C to total spaces of associated bundles.

The following computation of the G-equivariant ribbon structure on C^X turns out to be very involved. In the case of G=Z/2 we are able to fully conduct this computation, however for arbitrary groups we can only compute the structure of module categories on the twisted components over the neutral component. By a result of Etingof, Nikshych and Ostrik this already determines a large part of the monoidal structure on the G-equivariant category.

Finally we apply these results and compute the modular invariants of the mentioned module categories. We show that all modular invariants of permutation-type are physical.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit untersuchen wir eine bestimmte Klasse G-äquivarianter Tensorkategorien, wobei G eine endliche Gruppe ist. Als Spezialfall erhalten wir für die symmetrischen Gruppen G=S_N die sogenannten Permutations-äquivarianten Tensorkategorien. Die Konstruktion ist geometrisch, d.h. wir geben einen G-äquivarianten modularen Funktor an, welcher dann die Struktur einer G-äquivarianten monoidalen Kategorie induziert. Als Eingangsdaten verwenden wir eine endliche Gruppe G, eine endliche G-Menge X und eine modulare Tensorkategorie C.

Die wesentliche Idee unserer Konstruktion ist die Definition des sogenannten Cover-Funktors. Dies ist der Tensorfunktor von der Kategorie Gcob(d) der G-Prinzipalbündel d-dimensionaler Kobordismen in die Kategorie cob(d) der d-dimensionalen Kobordismen, welcher einem G-Bündel den Totalraum des durch die G-Wirkung auf X assoziierten Bündels zuordnet.

Zunächst führen wir unsere Konstruktion dekategorifiziert durch, um einen Ansatz für die abelsche Kategorie in Abhängigkeit von C und X zu bekommen. Dazu betrachten wir eine kommutative Frobenius-Algebra R und ziehen die von R induzierte topologische Feldtheorie entlang des Cover-Funktors zu einer G-äquivarianten topologischen Feldtheorie zurück. Anschließend berechnen wir die G-Frobenius-Algebra, welche zu dieser Feldtheorie äquivalent ist.

Durch Kategorifizieren der Struktur dieser G-Frobenius-Algebra erhalten wir eine G-äquivariante abelsche Kategorie C^X. Dann definieren wir einen C^X-erweiterten G-äquivarianten modularen Funktor durch Anwenden des zu C gehörenden modularen Funktors t auf Totalräume von assoziierten Bündeln.

Die anschließende Berechnung der G-äquivarianten Ribbon-Struktur auf C^X erweist sich als sehr anspruchsvoll. Im Fall G=Z/2 können wir diese Berechnung noch vollständig durchführen, für beliebige Gruppen jedoch können wir nur noch die Modulkategorie-Strukturen auf den getwisteten Komponenten über der neutralen Komponente bestimmen. Nach einem Resultat von Etingof, Nikshych und Ostrik ist dadurch aber schon ein großer Teil der monoidalen Struktur auf der G-äquivarianten Kategorie bestimmt.

Abschließend wenden wir diese Resultate an und berechnen die modularen Invarianten der genannten Modulkategorien und zeigen so, dass alle modularen Invarianten vom Permutationstyp physikalisch sind.

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