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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-48098
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2010/4809/


Regular models of Fermat curves and applications to Arakelov theory

Reguläre Modelle von Fermat-Kurven und Anwendungen in der Arakelov-Theorie

Curilla, Christian

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SWD-Schlagwörter: Algebraische Zahlentheorie , Arakelov-Schnitttheorie , Schnitttheorie , Algebraische Geometrie , Arithmetische Geometrie, Aufblasung , Fermat-Quotient
Freie Schlagwörter (Deutsch): Fermat-Kurve , Arakelov-Theorie , Aufblasung , Reguläres Modell , Arithmetische Geometrie
Freie Schlagwörter (Englisch): Fermat curve , Arakelov theory , Blowing-up , regular model , arithmetic geometry
Basisklassifikation: 31.23 , 31.51 , 31.14
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Kühn, Ulf (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 27.09.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 13.10.2010
Kurzfassung auf Englisch: In this work we analyze the arithmetic and geometry of the Fermat curves of squarefree exponent N. Furthermore we consider applications to Arakelov theory. The main results are the construction of the minimal regular model over the ring of integers of the N-th cyclotomic field, and upper bounds for the arithmetic self-intersection number of the hermitian line bundle which is given by the canonical bundle equipped with the Arakelov metric.
Starting point of our computation of the minimal regular model is the model which is given by the Fermat equation as well. We use the method of blowing-up, and we especially focus on the appropriate choice of the centers. The components of the special fiber which appear during the blowing-up process will be divided into different types that will be considered separately. In each step we use several methods to find the singular loci and verify regularity and normality. The main result describes the configuration of the special fiber of the minimal regular model together with the number, genus, self-intersection number and the multiplicity of the components. With a combinatoric argument, we get the transversality of the intersections. An advantage of our explicit construction is that we can use it for further applications related to the model itself. For example, for certain points of the generic fiber we can determine which components of the special fiber will be intersected by the horizontal divisors obtained as the Zariski-closure of these points. We can use this in order to construct a canonical divisor of this model with specific properties which are important for later applications.
For the computation of the upper bounds of the arithmetic self-intersection number of the hermitian line bundle, we can use one of Kühn's results that reduces the situation to the computation of certain finite self-intersection numbers. We can calculate these numbers with our model and obtain asymptotic upper bounds.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit untersuchen wir die Arithmetik und Geometrie der Fermat-Kurven mit quadratfreien Exponenten N. Darüber hinaus befassen wir uns mit Anwendungen in der Arakelov-Theorie. Die Hauptresultate, die wir erhalten, sind eine explizite Konstruktion des minimalen regulären Modells über dem zum N-ten Kreisteilungskörper gehörigen Ganzheitsring, und obere Schranken für die arithmetische Selbstschnittzahl des hermiteschen Geradenbündels, welches durch das kanonische Geradenbündel, versehen mit der Arakelov-Metrik, gegeben ist.
Ausgangspunkt der Berechnung des minimalen regulären Modells ist das Modell, welches ebenfalls durch die Fermat-Gleichung gegeben ist. Wir arbeiten mit der Technik des Aufblasens, wobei wir uns besonders mit der sinnvollen Wahl der Zentren beschäftigen. Die bei der Konstruktion durch das Aufblasen entstehenden Komponenten der speziellen Faser des Modells unterteilen wir in unterschiedliche Typen, die wir dann gesondert analysieren. In jedem Schritt benutzen wir diverse Techniken zum Auffinden der singulären Loci und zur Bestimmung von Regularität und Normalität. Das Hauptresultat beschreibt dann die Zusammensetzung der speziellen Fasern des minimalen regulären Modells gemeinsam mit der genauen Anzahl, dem Geschlecht, der Selbstschnittzahl und der Multiplizität der Komponenten. Durch ein kombinatorisches Argument folgt die Transversalität der Schnitte.
Ein Vorteil unserer expliziten Konstruktion ist, dass wir sie für weitere Berechnungen, die das Modell betreffen, nutzen können. Für bestimmte Punkte auf der generischen Faser berechnen wir beispielsweise, welche vertikalen Komponenten der speziellen Faser von den horizontalen Divisoren, die wir als Zariski-Abschluss dieser Punkte erhalten, geschnitten werden. Dies können wir nutzen, um kanonische Divisoren zu konstruieren, die besondere für andere Anwendungen nützliche Eigenschaften haben.
Um obere Schranken für die arithmetische Selbstschnittzahl des hermiteschen Geradenbündels zu berechnen, benutzen wir ein Theorem von Kühn, welches dieses Problem auf die Berechnung gewisser endlicher Selbstschnittzahlen reduziert. Diese Selbstschnittzahlen können wir mit unserem Modell bestimmen und erhalten damit asymptotische obere Schranken.

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