Infinite graphs with a tree-like structure

Abstract

In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir im ersten Teil die Baumähnlichkeit hyperbolischer Graphen. Dazu konstruieren wir für jeden lokal-endlichen hyperbolischen Graphen, dessen hyperbolischer Rand eine endliche Assouad-Dimension hat, einen Spannbaum, sodass einerseits der hyperbolische Graph selbst durch den Baum gut dargestellt wird: jeder Strahl des Baumes ist schließlich quasi-geodätisch und jeder geodätische Strahl des Graphen liegt schließlich in einer konstanten Umgebung des unendlichen Gerüsts des Baumes. Andererseits gibt der Rand des Baumes uns auch eine gute Darstellung des hyperbolischen Randes des Graphens, indem sich die Einbettung des Baumes stetig auf den Rand zu einer surjektiven Abbildung fortsetzen lässt, sodass jeder Randpunkt des Graphens beschränkt viele Urbilder unter dieser Fortsetzung hat.

Im zweiten Teil der Arbeit werden Graphen studiert, die gewisse Gruppenoperationen auf ihrem Rand realisieren: zuerst zeigen wir, dass kein lokal-endlicher ein-endiger hyperbolischer plättbarer Graph existiert, auf dem eine Gruppe derart opertiert, dass sie einen seiner Randpunkte fixiert und auf seinen Knoten transitiv operiert. Danach werden zusammenhängende unendlich-endige Graphen charakterisiert, auf denen eine Gruppe transitiv operiert und gleichzeitig einen der Enden fixiert. Wir erhalten, dass diese Graphen quasi-isometrisch zu Bäumen sind. Der letzte Abschnitt des zweiten Teils charakterisiert Graphen mit unendlich vielen Enden, sodass die Automorphismgruppe des Graphen transitiv auf dessen Enden operiert. Auch in diesem Fall erhalten wir eine Baumähnlichkeit: es existiert ein Teilgraph, der quasi-isometrisch zu einem Baum ist und dessen Löschung aus dem ursprünglichen Graphen einen strahlenlosen Graphen übrig lässt.

Im dritten Teil dieser Dissertation erhalten wir Klassifikationsresultate für Graphen, die spezielle Transitivitäts- oder Homogenitätseigenschaften besitzen. So werden zunächst mehr-endige Abstands-transitive Graphen klassifiziert und anschließend mehr-endige k-CS-transitive für k≥3. Im letzten Kapitel klassifizieren wir zusammenhängend-homogene Digraphen, die entweder endlich oder lokal-endlich oder zusammenhängend und mehr-endig sind.