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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-60635
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2013/6063/


Local Stabilization of Non-Ergodic Jackson Networks with Unreliable Nodes

Lokale Stabilisierbarkeit nicht-ergodischer Jackson-Netzwerke mit unzuverlässigen Knoten

Mylosz, Jennifer

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SWD-Schlagwörter: Warteschlangennetz , Markov-Prozess , Grenzverteilung , Stochastische Ordnung
Freie Schlagwörter (Deutsch): Ergodizität , unzuverlässige Knoten , quasi-stationäre Verteilung
Freie Schlagwörter (Englisch): queueing network , Markov process , limiting distribution , unreliable nodes , quasi-stationary distribution
Basisklassifikation: 31.70
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Daduna, Hans (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 24.01.2013
Erstellungsjahr: 2013
Publikationsdatum: 22.02.2013
Kurzfassung auf Englisch: This thesis contributes to a better understanding of the behavior of queueing networks that cannot approach a classical equilibrium state.

We consider Jackson networks with unreliable nodes which randomly break down and are under repair for a random time. Our networks are described by Markov processes the states of which incorporate the availability status and the queue-lengths vector. For Jackson networks with unreliable nodes, it is known that, under ergodicity conditions, the Markovian availability-queue-lengths process has a stationary product-form distribution. Ergodicity conditions can be expressed as local rate conditions: The total arrival rate at each node has to be strictly less than its maximal service rate. If for some nodes the ergodicity condition is violated, the network process is not ergodic and there cannot exist a stationary distribution. Nevertheless, we are able to obtain the complete asymptotics for non-ergodic Jackson networks with unreliable nodes and show that the state distribution of the stable subnetworks, i.e., the set of nodes where the local rate condition is fulfilled, converges to a Jackson-type product-form distribution.

The characterization of the asymptotic behavior of non-ergodic Jackson networks with unreliable nodes strongly relies on a detailed investigation of another class of generalized Jackson networks, which is of interest for its own. In these networks some stations may have an additional buffer with an infinite supply of lower priority jobs (customers) served at that station whenever the station runs out of standard customers. Networks incorporating such buffers are called Jackson networks with infinite supply. We analyze the stationary and limiting behavior of these networks with reliable nodes as well as with unreliable nodes.

Our results offer a new way to measure and assess the performance of non-ergodic Jackson networks with unreliable nodes where steady-state methods cannot be applied because no steady state exists. Using the obtained limiting distributions we are able to compute long-time averages of the standard performance and availability metrics explicitly.

The limiting distribution of the stable subnetworks of a non-ergodic network process has a product form which resembles the product-form limiting and stationary distribution of an ergodic network process. The observed structural similarities of the asymptotic results for ergodic network processes and non-ergodic network processes on the stable subnetworks pose the following question: Assume that the non-ergodic network is started with an initial distribution which has the marginal limiting product-form distribution. Will this distribution be preserved over time? It turns out that the answer is in general negative. However, there are subtleties which turn the question into the challenging problem to find conditions which transform the limiting product-form distribution into a quasi-stationary one, similar to those which occur when studying absorbing Markov processes. We prove several results which contribute to a better understanding of the principles behind such quasi-stationary behavior.
Kurzfassung auf Deutsch: Diese Arbeit liefert einen Beitrag zum besseren Verständnis des Verhaltens von Warteschlangennetzen, welche sich nicht in ein klassisches Gleichgewicht einschwingen können.

Es werden Jackson-Netzwerke mit unzuverlässigen Knoten, welche zufallsbeeinflusst ausfallen und daraufhin für eine zufällige Zeit repariert werden, betrachtet. Diese Netze werden durch Markov-Prozesse beschrieben, welche die zeitliche Entwicklung sowohl des Verfügbarkeitsstatus der Knoten im Netz als auch der vorliegenden Schlangenlängen je Knoten im System abbilden. Für Jackson-Netze mit unzuverlässigen Knoten ist bekannt, dass unter Ergodizitätsbedingungen der zugehörige Markovsche Verfügbarkeits- und Schlangenlängenprozess eine stationäre Verteilung in Produktform besitzt. Die Ergodizitätsbedingungen können als lokale Ratenbedingungen ausgedrückt werden: Die Gesamtankunftsrate an jedem Knoten muss strikt kleiner sein als dessen maximale Bedienrate (Kapazität). Ist für mindestens einen Knoten die Ergodizitätbedingung verletzt, so ist der Markov-Prozess nicht ergodisch und kann keine stationäre Verteilung besitzen. Dennoch kann die exakte Asymptotik für nicht-ergodische Jackson-Netze mit unzuverlässigen Knoten bewiesen werden und die Zustandsverteilung der stabilen Teilnetze (d.h. die Menge der Knoten, für welche die lokale Ratenbedingung erfüllt ist) konvergiert gegen eine Verteilung in Produktform.

Die Charakterisierung der Asymptotik nicht-ergodischer Jackson-Netze mit unzuverlässigen Knoten beruht auf einer detaillierten Untersuchung einer weiteren Klasse verallgemeinerter Jackson-Netze, die auch für sich genommen von Interesse ist. In diesen Netzen können einige Bedienstationen zusätzlich ausgestattet sein mit einem Puffer mit einem unbegrenzten Angebot an Aufträgen geringerer Priorität, welche immer dann abgearbeitet werden, wenn kein Standard-Auftrag aus dem Netz an dieser Station wartet. Netze mit solchen Puffern werden Jackson-Netze mit "infinite supply" genannt. Das stationäre und Grenz-Verhalten dieser Netzwerke mit zuverlässigen aber auch mit unzuverlässigen Knoten wird analysiert.

Die bewiesenen Ergebnisse ermöglichen es neue Methoden zu konstruieren zur Leistungsanalyse und -bewertung nicht-ergodischer Jackson-Netze mit unzuverlässigen Knoten, für welche stationäre Methoden nicht angewendet werden können, da keine stationäre Verteilung existiert. Die erhaltenen Grenzverteilungen nutzend, können Langzeitmittelwerte der Standardmaße für Leistungs- und Verfügbarkeitsanalysen explizit berechnet werden.

Die asymptotische Verteilung für stabile Teilnetze eines nicht-ergodischen Netzwerkprozesses hat eine Produktform, welche der Produktform der stationären und asymptotischen Verteilung in einem ergodischen Netzwerk stark ähnelt. Die beobachteten strukturellen Ähnlichkeiten der asymptotischen Ergebnisse für ergodische Netzwerkprozesse und für nicht-ergodische Netzwerkprozesse (auf den stabilen Teilen) werfen die folgende Frage auf: Angenommen das nicht-ergodische Netzwerk wird mit einer Verteilung gestartet, welche marginal (für das stabile Teilnetz) die Produktform besitzt. Wird diese marginale Produktform-Verteilung mit Verlauf der Zeit bestehen bleiben? Es stellt sich heraus, dass die Antwort im Allgemeinen negativ ist. Eine genauere Analyse führt dazu, die Fragestellung in das sich als schwer zu bewältigend herausstellende Problem zu transformieren, Bedingungen zu finden, wodurch die Grenzverteilung eine quasi-stationäre Verteilung wird, ähnlich wie jene quasi-stationären Verteilungen, die auftreten, wenn absorbierende Markov-Prozesse analysiert werden. Es werden Ergebnisse bewiesen, welche dazu beitragen, die hinter solch quasi-stationärem Verhalten der betrachteten Systeme stehenden Prinzipien zu verstehen.

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