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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-63894
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2013/6389/


Control-constrained parabolic optimal control problems on evolving surfaces : theory and variational discretization

Kontrollbeschränkte parabolische Optimalsteuerungsprobleme auf sich bewegenden Flächen : Theorie und variationelle Diskretisierung

Vierling, Morten

Originalveröffentlichung: (2013) http://arxiv.org/abs/1106.0622
pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (3.171 KB) 


SWD-Schlagwörter: Optimale Kontrolle , Fläche , Partielle Differentialgleichung , Zeitabhängigkeit
Freie Schlagwörter (Deutsch): Bewegte Flächen, Parabolische Differentialgleichungen
Freie Schlagwörter (Englisch): evolving surfaces, parabolic partial differential equations
Basisklassifikation: 31.76 , 31.52 , 31.45
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Hinze, Michael (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 11.07.2013
Erstellungsjahr: 2013
Publikationsdatum: 07.10.2013
Kurzfassung auf Englisch: We investigate linear-quadratic parabolic optimal control problems on evolving material hypersurfaces. In addition, we present a globalized Newton method for elliptic optimal control problems on stationary surfaces.
We consider parabolic state equations in their weak form and define unique weak solutions for the state equation under low regularity assumptions. In particular we allow for initial values y0 ∈ L2(Γ(0)). The idea is to introduce distributional material derivatives and a W(0,T)-like solution space.
Both in the stationary and the instationary case each surface is approximated by a triangulation Γh on which a finite element scheme for the state equation is formulated. The approximation error of this discretization of the state equation decomposes into a finite element error, arising from the projection onto a finite dimensional Ansatz space, and a geometrical part which is due to the approximation of Γ by Γh. We prove convergence results for the parabolic equations under weak regularity assumptions.
The state equations define linear control-to-state operators. Using these, we formulate control constrained optimal control problems along with their necessary optimality conditions where the adjoint state equations appear. The optimal control problems are subjected to variational discretization by replacing Γ and the state equation by their finite dimensional approximations. The variationally discretized problems are amenable to an implementable semismooth Newton algorithm. In both cases we prove convergence of the discretized optimal controls.
In the elliptic case we also discuss in some detail the implementation of a globalized semismooth Newton algorithm for the control problem, involving a new merit function. In the parabolic setting a suitable scalar product is formulated in order to arrive at an easily computable discrete adjoint scheme.
Our analytical findings are complemented with numerical examples.
Kurzfassung auf Deutsch: Wir untersuchen linear-quadratische Optimalsteuerungsprobleme auf sich bewegenden Flächen. Zusätzlich geben wir ein globalisiertes semiglattes Newtonverfahren für elliptische Optimalsteuerungsprobleme auf stationären Flächen an. Wir betrachten parabolische Zustandsgleichungen in schwacher Form.
Wir definieren eindeutige Lösungen der Zustandsgleichung unter geringen Regularitätsannahmen. Insbesondere berücksichtigen wir Anfangswerte mit niedriger Regularität y0 ∈ L2(Γ(0)). Hierzu werden schwache Materialableitungen und ein W(0,T)-artiger Lösungsraum eingeführt.
Sowohl im parabolischen als auch im elliptischen Fall wird die Zustandsgleichung mittels eines Finite-Element Ansatzes auf Triangulierungen Γh der Flächen Γ diskretisiert. Der damit verbundene Approximationsfehler zerfällt in einen Finite-Element Anteil, der aus der Projektion auf einen endlichdimensionalen Ansatzraum resultiert, und einen geometrischen Anteil, der der Diskretisierung von Γ durch Γh Rechnung trägt. Wir beweisen Konvergenzaussagen für die Diskretisierung der parabolischen Gleichung unter schwachen Regularitätsannahmen.
Mit den Zustandsgleichungen lassen sich kontrollbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme formulieren. Diese diskretisieren wir variationell, indem wir Γ und die Zustandsgleichung durch ihre jeweiligen diskreten Approximationen ersetzen. Das variationell diskretisierte Problem kann dann mittels eines semiglatten Newtonalgorithmus gelöst werden. In beiden Fällen werden optimale Konvergenzordnung für die Kontrollen bewiesen.
Im elliptischen Fall geben wir zudem eine Globalisierung des Newtonverfahrens an, die auf einer neuen Bewertungsfunktion beruht. Im parabolischen Fall wird das L2-Skalarprodukt in geeigneter Weise diskretisiert, um einen implementierbaren adjungierten Lösungsoperator zu erhalten.
Die analytischen Betrachtungen werden durch numerische Beispiele ergänzt.

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