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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-65183
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2013/6518/


Approximate Solutions of Generalized Riemann Problems for Hyperbolic Conservation Laws and Their Application to High Order Finite Volume Schemes

Näherungslösungen von verallgemeinerten Riemann Problemen für hyperbolische Erhaltungsgleichungen und deren Anwendung in Finite Volumen Verfahren hoher Ordnung

Goetz, Claus Rüdiger

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Freie Schlagwörter (Englisch): Hyperbolic Conservation Laws , Generalized Riemann Problem , ADER
Basisklassifikation: 31.76 , 31.45
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Iske, Armin (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 30.10.2013
Erstellungsjahr: 2013
Publikationsdatum: 10.12.2013
Kurzfassung auf Deutsch: Wir untersuchen die analytischen Eigenschaften von Methoden zur näherungsweisen Lösung von verallgemeinerten Riemann-Problemen. Dabei konzentrieren wir uns auf den Toro-Titarev-Löser (Toro & Titarev (2006), J. Comput. Phys. 212, pp. 150 – 165), der den zentralen Baustein zur Flussberechnung in ADER Finite Volumen Methoden zur numerischen Lösung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen darstellt. Toro und Titarev schlagen vor, die Lösung des verallgemeinerten Riemann-Problems durch eine Taylor-Reihe zu approximieren. Die Koeffizienten der Taylor-Polynome werden in der Methode von Toro und Titarev mit Hilfe einer Cauchy-Kowalewskaya-Prozedur und einer Folge von klassischen Riemann-Problemen berechnet.

Diese Strategie zur Berechnung von Näherungslösungen für verallgemeinerte Riemann-Probleme erzielt in einer Vielzahl von Anwendungen sehr gute numerische Resultate, eine gründliche analytische Untersuchung des Verfahrens steht allerdings noch aus. Insbesondere wurde beobachtet, dass ADER-Verfahren für glatte Lösungen die erwartete Genauigkeitsordnug erreichen, bei großen Sprüngen
in den Anfangsdaten aber auf Probleme stoßen (Castro & Toro (2008), J. Comput. Phys. 227, pp. 2481 – 2513, Montecinos et al. (2012), J. Comput. Phys. 231, pp. 6472 – 6494). Dieses Phänomen konnte bisher nicht erklärt werden.

Wir untersuchen den Toro-Titarev-Löser, indem wir ihn mit einer asymptotischen Reihenentwicklung für die Lösung des verallgemeinerten Riemann-Problems vergleichen, die von LeFloch und Raviart konstruiert wurde (LeFloch & Raviart (1988), Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Linéaire 5, pp. 179 - 207). Es stellt sich heraus, dass beide Methoden formell die selbe Taylor-Approximation konstruieren und sich nur in der Berechnung der Ortsableitungen im Ursprung unterscheiden.

Wir zeigen, dass beide Methoden für skalare 1D Probleme zur selben Näherungslösung führen. Für nichtlineare Systeme von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen ergibt sich ein Unterschied. Wir zeigen analytisch, dass dieser Unterschied direkt von der Größe des Sprungs in den Anfangsdaten abhängt und dass der Unterschied klein ist, wenn der Sprung in den Anfangsdaten klein ist.

Wir illustrieren diesen Sachverhalt, indem wir analytische Resultate für Burgers Gleichung und für ein System aus der Zwei-Komponenten Chromatographie bereitstellen. Weitere numerische Resultate für Flachwassergleichungen und für ein System aus der Verkehrsflussmodellierung bestätigen die analytischen Resultate.
Kurzfassung auf Englisch: We study the analytical properties of approximate solvers for the generalized Riemann problem. We focus on the Toro-Titarev solver (Toro & Titarev (2006), J. Comput. Phys. 212, pp. 150 – 165), which is the heart of the flux computation in ADER finite volume methods for solving hyperbolic conservation laws. Toro and Titarev suggested to approximate the solution of the generalized Riemann problem by a truncated Taylor series expansion. Coefficients in this expansion are found using a Cauchy-Kovalevskaya procedure and a sequence of classical Riemann problems.

This method for approximately solving the generalized Riemann problem has been applied successfully to a wide range of problems, but few rigorous analysis of this strategy has been reported so far. It was observed that the ADER scheme achieves the designed order of accuracy in regions where the solution is smooth, but can encounter difficulties if the initial data contains large jumps (Castro & Toro (2008), J. Comput. Phys. 227, pp. 2481 – 2513, Montecinos et al. (2012), J. Comput. Phys. 231, pp. 6472 – 6494). This phenomenon has thus far not been explained.

We study the solver of Toro and Titarev by comparing it to a local asymptotic series expansion for the solution of the generalized Riemann problem that was constructed by LeFloch and Raviart (LeFloch & Raviart (1988), Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Linéaire 5, pp. 179 - 207). It turns out that both methods formally construct the same truncated Taylor series expansion. The only difference is the way spatial derivatives at the origin are found.

We show that both methods lead to the same truncated Taylor series expansion when they are applied to scalar problems. For systems of hyperbolic conservation laws, there is a difference. We show that this difference can be clearly traced back to the jump in the initial data. Moreover, we show that when the jump in the initial data is small, the two resulting approximations are close. We illustrate this by giving analytical results for Burgers equation and a system from two-component chromatography. Numerical results for shallow water equations and for a system from traffic flow further support the analytical results.

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