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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-74531
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2015/7453/


Multiplicative Structures and Involutions on Algebraic K-Theory

Multiplikative Strukturen und Involutionen auf algebraischer K-Theorie

Lange, Marc

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SWD-Schlagwörter: Topologie , Algebraische K-Theorie , Stabile Homotopietheorie , Komplexe K-Theorie , Kategorientheorie
Freie Schlagwörter (Deutsch): Bimonoidale Bikategorien , Entschleifung , Elliptische Kohomologie
Freie Schlagwörter (Englisch): Delooping , Elliptic Cohomology , Involutions , Algebraic K-Theory , Complex K-Theory
Basisklassifikation: 31.61
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Richter, Birgit (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 26.06.2015
Erstellungsjahr: 2015
Publikationsdatum: 28.07.2015
Kurzfassung auf Englisch: In this thesis I investigate the interaction of multiplicative and involutive structures on algebraic K-theory of E infinity-ring spectra. Algebraic K-theory is associated classically to discrete rings by a definition of Quillen with preceding approaches by Grothendieck, Bass and Milnor. Quillen identified algebraic K-theory as the homotopy groups of a space naturally associated to a ring, unifying the first three definitions, and
providing a definition of the n-th K-theory group for all natural numbers n. One approach to computations is the generalisation of K-theory to more ringlike objects, yielding more induced structures on K-theory, for instance multiplicative structures as described in [EM, GGN, BGT2, May2] and involutions as defined in [R].
Driven by the main example, algebraic K-theory of the connective complex K-theory spectrum ku, and building on the computations of Christian Ausoni in [A-Kku, A-THH], I focus on the induced multiplicative structure on K(ku) in chapters 1 to 3. Building on the delooping of permutative bicategories as developed by Angelica Osorno in [Os], I exhibit a tensor product on a bicategory of matrices M(R) associated to a bipermutative category R in chapter 2. By modifying the delooping of Osorno in chapter 3 I find an induced E infinity-ring spectrum structure on K(ku) by identifying this spectrum as the Eilenberg-MacLane-
spectrum associated to the bicategory of matrices over finite-dimensional complex vector spaces. The involution as defined by Richter easily generalises to this setting, so I can exhibit the interaction of the involution with the multiplication easily.
Since the calculations by Ausoni in [A-Kku, A-THH] rely on trace methods, i.e., are obtained by careful comparison of K(ku) to topological Hochschild homology THH(ku) along the trace map, I can use the compatibility of the trace map with the multiplicative structures defined on both as a universal property by the results of Blumberg, Gepner, Tabuada in [BGT1, BGT2]. This in particular implies that the trace map is
compatible with the involution defined on K-theory as in [R] and on topological Hochschild homology analogous to [Lo], giving the main result of chapter 5.
Finally in chapter 6 I investigate the involution on mod (p, v1) homotopy
groups of K(ku) as calculated in [A-Kku]. Specifically there is a subalgebra of V(1)K(ku), which can be understood purely in terms of the trace map K(ku) → THH(ku), and there are special classes as well as the “higher Bott element” b. For all of these I describe the effect induced by complex conjugation on ku, and thus the induced involution on algebraic K-theory on V (1)K(ku).
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Dissertation untersuche ich Multiplikationen und Involutionen auf algebraischer K-Theorie von E unendlich-Ringspektren. Klassisch ist algebraische K-Theorie eine Invariante diskreter Ringe definiert von Quillen. Quillens Definition vereinheitlicht Definitionen von Grothendieck, Bass und Milnor. Er definiert algebraische K-Theorie als Homotopiegruppen eines natürlich zu einem Ring R assoziierten Raumes BGL(R)^+. Diese Definition vereinheitlicht zugleich die vorher genannten Definitionen und gibt eine Definition für alle natürlichen Zahlen. Ein Zugang zu Berechnungen ist die Verallgemeinerung von K-Theorie auf ringartige Objekte, was insbesondere Aufschluss gibt über induzierte Strukturen auf K-Theorie wie etwa Multiplikationen [EM, GGN, BGT2, May2] und Involutionen [R].
In den Kapiteln 1 bis 3 untersuche ich die multiplikative Struktur von K(ku), die durch die Identifikation entlang [BDRR1] als Delooping einer Bikategorie von Matrizen M(R) induziert wird. Genauer definiere ich in Kapitel 2 ein Tensorprodukt, das eine Multiplikation auf M(R) induziert, die sich mit der additiven Struktur, die Angelica Osorno [Os] definiert, verträgt. In Kapitel 3 beschreibe ich eine Variante ihres Deloopings [Os], die durch das Tensorprodukt die Struktur eines E unendlich Ringspektrums erhält. Die von Birgit Richter in [R] beschriebene
Involution lässt sich auf M(R) erweitern, und wir erhalten, dass die Involution diese Multiplikation opponiert.
Die Berechnungen der mod (p, v1) Homotopiegruppen von Christian Ausoni in [A-Kku, A-THH] basieren grundlegend auf Spurmethoden, also einem sorgsamen Vergleich algebraischer K-Theorie mit topologischer Hochschildhomologie. Die vergleichende Abbildung ist die Spur K(ku) → THH(ku), die ich mithilfe der
Resultate von Blumberg, Gepner und Tabuada aus [BGT1, BGT2] als die universelle multiplikative natürliche Transformation K ⇒ THH in Kapitel 5 definieren kann. Aus dieser Universalität folgt das Hauptresultat von Kapitel 5, dass sich die Spurabbildung auch mit der
induzierten Involution auf K-Theorie wie in [R] beschrieben und der auf topologischer Hochschildhomologie zu der in [Lo] analogen Involution verträgt. In Kapitel 6 untersuche ich die Involution auf mod (p, v1) Homotopiegruppen von K(ku), wie sie aus der Berechnung von [A-Kku] hervorgehen. Es gibt eine Unteralgebra in V(1)K(ku), die sich vollständig über die Spur in V(1)THH(ku)
verstehen lässt, sowie spezielle Elemente und das “höhere Bott-Element” b in diesem Modul. Für diese Klassen beschreibe ich die Involution auf V(1)K(ku).

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