Arithmetic Local Coordinates and Applications to Arithmetic Self-Intersection Numbers

Abstract

In this thesis we define a new analytic object, which is called an "arithmetic local coordinate". We show that the arithmetic self-intersection number of an arithmetic divisor on an arithmetic surface can be written as a limit formula using an arithmetic local coordinate. In this limit formula the calculation of the geometric intersection number at the finite places do not occur. With this notion we reduce the problem of applying Chow's Moving Lemma to the calculation of an arithmetic local coordinate. We also apply this idea to the computation of generalized arithmetic self-intersection numbers, where the Green's functions have log-log singularities. This is done with the use of a new analytic object, which is called an "adjusted Green's function". This can be seen as a global version of an arithmetic local coordinate.

We generalize the notions of arithmetic local coordinates and adjusted Green's functions to higher dimensional arithmetic varieties. We find new formulas for the arithmetic intersection number of two arithmetic cycles. We define a modified version of the usual star product of J. I. Burgos Gil, J. Kramer and U. Kühn between two Green's forms. An investigation shows that the integral of this modified version of the star product and the integral of the usual star product only differ by the geometric intersection number at the finite places of the cycles.

In dieser Arbeit definieren wir ein neues analytisches Objekt, eine "arithmetische lokale Koordinate". Wir zeigen, dass sich mithilfe einer arithmetischen lokalen Koordinate die arithmetische Selbstschnittzahl eines arithmetischen Divisors auf einer arithmetischen Fläche als einen analytischen Grenzwert schreiben lässt. In diesem Grenzwert entfällt die Berechnung der geometrischen Schnittzahl an den endlichen Stellen. Mit dieser Version der arithmetischen Selbstschnittzahl reduzieren wir das Problem Chow's Moving Lemma anzuwenden auf die Berechnung einer arithmetischen lokalen Koordinate. Des Weiteren wenden wir die Idee der arithmetischen lokalen Koordinaten auf die Berechnungen von verallgemeinerten arithmetischen Selbstschnittzahlen an, wobei die Greenschen Funktionen log-log Singularitäten aufweisen. Dies wird ermöglicht, indem wir ein neues analytisches Objekt einführen, die "angepassten Greenschen Funktionen". Diese können als eine Art globale Version von arithmetischen lokalen Koordinaten angesehen werden.

Wir verallgemeinern arithmetische lokale Koordinaten und angepasste Greensche Funktionen auf höherdimensionale arithmetische Varietäten. Damit erhalten wir neue Formeln für die arithmetische Schnittzahl von zwei arithmetischen Zykeln. Wir definieren eine modifizierte Version des gewöhnlichen Stern Produktes von J. I. Burgos Gil, J. Kramer und U. Kühn. Eine Untersuchung zeigt, dass sich das Integral von der modifizierten Version des gewöhnlichen Stern Produktes und das Integral des gewöhnlichen Stern Produktes nur um die geometrische Schnittzahl an den endlichen Stellen der Zykel unterscheidet.