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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-77856
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2016/7785/


Kettengeometrien über Jordan-Systemen und zugehörige Morphismen

Chain geometries over Jordan systems and associated morphisms

Bibik, Maryna

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SWD-Schlagwörter: Kettengeometrie , Kettenraum , Projektive Gerade , Morphismus
Freie Schlagwörter (Deutsch): Jordan-System , Homotopismus , Jordan-Homomorphismus
Basisklassifikation: 31.50
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Blunck, Andrea (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 21.10.2015
Erstellungsjahr: 2015
Publikationsdatum: 08.03.2016
Kurzfassung auf Deutsch: Jordan-Systeme sind gewisse Teilstrukturen von K-Algebren. Bisher wurden die projektive Gerade P(J) über einem Jordan-System J sowie die zugehörige Kettengeometrie nur für sogenannte starke J definiert und untersucht. Dementsprechend wurde auch die algebraische Beschreibung der Morphismen von Kettengeometrien nur im starken Fall behandelt. Das Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, bei unserer Untersuchung all dieser Gegenstände auf die Voraussetzung ”stark“ zu verzichten.
Im Kapitel 1 werden vorbereitend die grundlegenden Begriffe, Aspekte und Zusammenhänge aus der Thematik Distanzräume und Kettengeometrien erklärt und durch Beispiele unterstützt.
In den Kapiteln 2 und 3 befassen wir uns mit der Frage von Definition der projektiven Gerade über J im nicht starken Fall. Zur Einführung und Motivation werden im Kapitel 2 alle zwei- und dreidimensionalen Jordan-Systeme im 3 × 3-Matrizenring K_{3,3} über einem Körper K mit CharK ungleich 2 studiert und klassifiziert. Hierbei wird anhand eines Beispiels gezeigt, dass die übliche Definition der projektiven Gerade im nicht starken Fall nicht die gewünschten Eigenschaften hat. Deshalb führen wir im Kapitel 3 die neue Definition der projektiven Gerade über einem nicht notwendigerweise starken Jordan-System J ein und bezeichnen sie mit tilde{P}(J). Die neue Definition umfasst die übliche für starke J. Weiter untersuchen wir, wann die beiden Mengen tilde{P}(J) und P(J) gleich sind. Dazu führen wir den Begriff des stabilen Jordan-Systems in einer K-Algebra R ein und beweisen, dass im Fall von Jordan-abgeschlossenen Jordan-Systemen die Gleichheit tilde{P}(J) = P(J) genau dann gilt, wenn J in R stabil ist. Insbesondere wird gezeigt, dass jedes Jordan-abgeschlossene Jordan-System in R = K_{n,n} mit n ≥ 2 stabil ist, falls |K| ≥ n + 1 gilt. Dieses Kapitel abschließend beweisen wir: Ist J Jordan-abgeschlossen, dann ist tilde{P}(J) ein Unterraum der Kettengeometrie über der Algebra (K,R). Diesen Unterraum nennen wir die Kettengeometrie über (K,R,J) und bezeichnen mit Σ(K,R,J). Insbesondere stimmt diese Kettengeometrie mit der üblichen für starke J überein.
In den Kapiteln 4 und 5 werden Morphismen von Kettengeometrien der Form Σ(K,R,J) auf algebraische Beschreibung untersucht. Dafür werden zunächst im Kapitel 4 Jordan-Homomorphismen zwischen Matrizenalgebren gleicher Ordnung sowie von einem Jordan-System hermitescher Matrizen in eine Matrizenalgebra gleicher Ordnung - als eine Beispielklasse solcher Abbildungen - näher studiert und algebraisch beschrieben. Wir zeigen, dass Jordan-Homomorphismen in beiden genannten Fällen Morphismen der entsprechenden Distanzräume induzieren, welche sowohl die Distanzrelation als auch die Adjazenzrelation (im Sinne der Theorie der Graßmann-Räume) in beiden Richtungen invariant lassen. Zum Schluss dieses Kapitels geben wir geometrische Interpretationen dieser Morphismen, indem wir die entsprechenden projektiven Geraden in projektiven Räumen über Körpern darstellen und zur Theorie der Graßmann-Räume übergehen.
Im Kapitel 5 verallgemeinern wir einige Resultate aus dem Kapitel 4: Wir zeigen, dass jeder Jordan-Homomorphismus zwischen zwei Jordan-abgeschlossenen Jordan-Systemen stets einen Morphismus der entsprechenden Distanzräume induziert. Zusätzlich wird bewiesen, dass dieser Morphismus sogar ein Morphismus der zugehörigen Kettengeometrien ist. Dieses Ergebnis verallgemeinern wir weiter auf Homotopismen von Jordan-abgeschlossenen Jordan-Systemen. Im letzten Abschnitt zeigen wir auch (unter zusätzlichen Voraussetzungen) die Umkehrung: Sei R = K_{n,n} mit n ≥ 2 und |K| ≥ n + 1 und sei R′ eine beliebige Algebra über einem Körper K′. Außerdem seien J und J′ Jordan-abgeschlossene Jordan-Systeme in R bzw. R′. Dann lässt sich jeder nicht triviale Morphismus der entsprechenden Kettengeometrien durch einen Homotopismus J → J′ beschreiben. Man beachte, dass unter diesen Voraussetzungen J in R stabil ist.
Kurzfassung auf Englisch: Jordan systems are certain substructures of K-algebras. So far, the projective line P(J) over a Jordan system J and the associated chain geometry have been defined and investigated only for so-called strong Jordan systems J. Accordingly, the algebraic description of the morphisms of chain geometries has been treated only under the assumption of the strongness of J. The aim of this thesis is to abandon the condition ”strong“ in our investigation of all these subjects.
In the first chapter we explain the basic notions, aspects and correlations on the subject of distant spaces and chain geometries and support them by examples.
In the chapters 2 and 3 we consider the question of definition of the projective line over a not necessarily strong Jordan system J. As an introduction and motivation we study and classify in the second chapter all two- and threedimensional Jordan systems in the ring K_{3,3} of 3 × 3 matrices over some field K with CharK not equal 2. Based on an example, we show that the usual definition of the projective line over J does not have the desired properties, if J is not strong. Therefore we introduce in the third chapter a new definition of the projective line over a not necessarily strong Jordan system J and denote it by tilde{P}(J). The new definition includes the usual one for strong Jordan systems. Further, we consider the question, when the sets tilde{P}(J) and P(J) are equal. For this purpose we introduce the notion of the stable Jordan system in a K-algebra R and prove for Jordan closed Jordan systems J, that the equality tilde{P}(J) = P(J) is equivalent to the stability of J in R. In particular, we show that every Jordan closed Jordan system in R = K_{n,n} with n ≥ 2 is stable, when |K| ≥ n + 1 holds. Concluding this chapter we prove the following: If J is Jordan closed, then tilde{P}(J) is a subspace of the chain geometry over the algebra (K,R). We call this subspace the chain geometry over (K,R,J) and denote it by Σ(K,R,J). In particular, this chain geometry coincides with the usual one in the case, when J is strong.
In the chapters 4 and 5 we examine morphisms of chain geometries of the form Σ(K,R,J) for algebraic description. For this purpose, firstly Jordan homomorphisms between matrix algebras of the same order as well as of a Jordan system of hermitian matrices into a matrix algebra of the same order - as an example class of such mappings - are studied and described algebraically in the fourth chapter. We prove that Jordan homomorphisms in both cases mentioned above induce morphisms of the respective distant spaces, which preserve both the distant relation and the adjacency relation (in terms of the theory of the Grassmann spaces) in both directions. Finally we give geometric interpretations of these morphisms by representing the respective projective lines in projective spaces over some fields, so that we can use the theory of the Grassmann spaces.
In the fifth chapter we generalize some results from the chapter 4: We show that every Jordan homomorphism between two Jordan closed Jordan systems induces a morphism of the respective distant spaces. Moreover, we prove that this morphism is even a morphism of the associated chain geometries. This result is further generalized to homotopisms of Jordan closed Jordan systems. In the last section we prove that under additional assumptions the reversed statement is true as well, i.e.: Let R be a matrix ring R = K_{n,n} with n ≥ 2 and |K| ≥ n+1 and let R′ be an arbitrary algebra over some field K′. Futhermore, let J and J′ be Jordan closed Jordan systems in R and R′ respectively. Then every nontrivial morphism of the associated chain geometries can be described by a homotopism J → J′. Note that under these assumptions J is stable in R.

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