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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-78598
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2016/7859/


Shape optimization based on a fictitious domain method with curves

Gebietsoptimierung basierend auf einem Einbettungsverfahren mit Kurven

Vehling, Thorben

pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (6.665 KB) 


Basisklassifikation: 31.80
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Hinze, Michael (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 13.04.2016
Erstellungsjahr: 2016
Publikationsdatum: 28.04.2016
Kurzfassung auf Englisch: In the present thesis we deal with a class of shape optimization problems for the two-dimensional Poisson equation with homogeneous Dirichlet boundary conditions. We consider tracking-type objective functionals and characterize admissible domains through admissible parametrizations of the boundary. These parametrizations serve as the control variable in the optimization process. A fictitious domain method is used to embed admissible domains into a larger, geometrically simpler reference domain, on which the analysis and the computations are then performed. Shape optimization problems of this kind were considered in [KP98, Sla00].
We generalize the problem setting from [KP98, Sla00] in the following way. On the one hand, the extension to a wider class of admissible domains is established, this means that the variable part of the boundary of admissible domains is not given as the graph of an admissible function, but rather as the image of an admissible curve. One the other hand, a more general class of objective functionals is considered. In particular, we are able to discard previously necessary restrictions to the observation domain, in which we track the L2-error of the state with respect to a desired state. This substantially enhances the sensitivity of the objective functional with respect to boundary variations.
To study the shape optimization problem in the generalized setting, we provide an extended functional-analytic framework. The following results are then transferred to and proven within this framework: the existence of a solution of the corresponding shape optimization problem, Fréchet-differentiability of the reduced objective functional and a resulting integral representation for the first derivative. As an approximation of the second derivative of the reduced objective functional, we furthermore show the existence of the symmetrical directional derivative of its first derivative, for which an elegant integral representation is also established.
The differentiability results are then used to solve the shape optimization problems by iterative descent methods in an appropriate Hilbert space setting. On the one hand we discuss the steepest descent method and the BFGS quasi-Newton method. On the other hand, we are able to present an inexact Newton-like method using the results of the approximation of the second derivative.
Moreover, a mixed finite element discretization and finite-dimensional descent methods corresponding to the continuous case are provided to solve the shape optimization problem numerically. Eventually, the functionality and reliability of the developed methods are resented in numerical experiments.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Arbeit behandelt eine Klasse von Gebietsoptimierungsproblemen für die zweidimensionale Poisson-Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen. Dabei werden tracking-type Zielfunktionale betrachtet, und zulässige Gebiete werden durch zulässige Parametrisierungen des Gebietsrandes charakterisiert. Solche Parametrisierungen dienen als Kontrollvariable im Optimierungsprozess. Ein Einbettungsverfahren für die Zustandsgleichung wird angewendet, um zulässige Gebiete in ein größeres, geometrisch vereinfachtes Referenzgebiet zu integrieren, in welchem dann die Analysis und die erwünschten Berechnungen durchgeführt werden. Gebietsoptimierungsprobleme dieser Art wurden bereits in [KP98, Sla00] diskutiert.
Die Rahmenbedingungen der Probleme aus [KP98, Sla00] werden in dieser Dissertation auf folgende Weise verallgemeinert: Einerseits wird eine Erweiterung durch eine größere Klasse an zulässigen Gebieten etabliert. Hier ist der variable Teil des Randes zulässiger Gebiete nicht mehr durch den Graph einer zulässigen Funktion gegeben, sondern durch das Bild einer zulässigen Kurve. Andererseits wird eine größere Klasse von Zielfunktionalen betrachtet, genauer: auf die bisher notwendigen Einschränkungen hinsichtlich des Beobachtungsgebietes, in dem der L2-Fehler des bestehenden Zustandes im Vergleich zum gewünschten Zustand gemessen wird, kann nun verzichtet werden. Dadurch wird die Sensitivität des Zielfunktionales in Bezug auf Randvariationen erheblich erhöht.
Zur Untersuchung der Gebietsoptimierungsprobleme in dem nun verallgemeinerten Setting wird zunächst ein erweiterter funktionalanalytischer Rahmen bereitgestellt. Darin werden dann die folgenden bekannten Resultate übertragen und bewiesen: die Existenz von Lösungen des korrespondierenden Gebietsoptimierungsproblems, Fréchet-Differenzierbarkeit des reduzierten Zielfunktionales, sowie eine daraus resultierende Integraldarstellung der ersten Ableitung. Als Approximation der zweiten Ableitung des reduzierten Zielfunktionales wird darüber hinaus die Existenz der symmetrischen Richtungsableitung ihrer ersten Ableitung gezeigt. Auch hierfür wird eine elegante Integraldarstellung hergeleitet.
Die Differenzierbarkeitsaussagen finden Anwendung bei der Lösung der Gebietsoptimierungsprobleme durch iterative Abstiegsverfahren in einer geeigneten Hilbert-Raum Konfiguration. Zunächst werden das Gradientenverfahren und das BFGS Quasi-Newton-Verfahren diskutiert, mit Hilfe der Ergebnisse zur Approximation der zweiten Ableitung wird darüber hinaus auch ein inexaktes, Newton-ähnliches Verfahren präsentiert.
Es werden eine gemischte Finite-Elemente-Diskretisierung und zum kontinuierlichen Fall korrespondierende, endlich-dimensionale Abstiegsverfahren bereitgestellt, um das Gebietsoptimierungsproblem auch numerisch zu behandeln. Abschließend wird die Funktionalität und Zuverlässigkeit der entwickelten Verfahren anhand numerischer Beispiele vorgestellt.

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