FAQ
© 2017 Staats- und Universitätsbibliothek
Hamburg, Carl von Ossietzky

Öffnungszeiten heute09.00 bis 24.00 Uhr alle Öffnungszeiten

Eingang zum Volltext in OPUS

Hinweis zum Urheberrecht

Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-86558
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2017/8655/


Group Actions on Bicategories and Topological Quantum Field Theories

Gruppenwirkungen auf Bikategorien und Topologische Quantenfeldtheorien

Hesse, Jan

pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (1.466 KB) 


SWD-Schlagwörter: Topologische Quantenfeldtheorie , Bikategorie , Gruppenoperation
Freie Schlagwörter (Deutsch): Homotopiefixpunkt
Freie Schlagwörter (Englisch): Topological Quantum Field Theory , Bicategory , Group action , Homotopy fixed point
Basisklassifikation: 31.62 , 33.24 , 31.27
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Schweigert, Christoph (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 05.07.2017
Erstellungsjahr: 2017
Publikationsdatum: 02.08.2017
Kurzfassung auf Englisch: Bicategories play an important rôle in the classification of fully-extended two-dimensional
topological field theories. In order to describe topological field theories with more
geometric structure, one needs more structure on the algebraic side, which is given by
homotopy fixed points of a certain group action on a bicategory.

In the first chapter of this thesis, we develop the mathematical theory of group actions
on bicategories. By categorifying the notion of a group action on a set, we arrive at a
suitable definition of an action of a topological group on a bicategory. Given such an
action, we provide an explicit definition of the bicategory of homotopy fixed points. This
allows us to explicitly compute the bicategory of homotopy fixed points of certain group
actions. Two fundamental examples show that even homotopy fixed points of trivial group
actions give rise to additional structure: we show that a certain bigroupoid of semisimple
symmetric Frobenius algebras is equivalent to the bicategory of homotopy fixed points
of the trivial SO(2)-action on the core of fully-dualizable objects of the bicategory of
algebras, bimodules and intertwiners. Furthermore, we show that homotopy fixed points
of the trivial SO(2)-action on the bicategory of finite, linear categories are given by
Calabi-Yau categories.

The next chapter deals with an additional equivariant structure on a functor between
bicategories equipped with a group action. We show that such an equivariant functor
induces a functor on homotopy fixed points. As an application, we consider the 2-functor
which sends a finite-dimensional, semisimple algebra to its category of representations.
This functor has got a natural SO(2)-equivariant structure, and thus induces a functor on
homotopy fixed points. We show that this induced functor is pseudo-naturally isomorphic
to an equivalence between Frobenius algebras and Calabi-Yau categories which we have
constructed previously.

In the last two chapters, we classify fully-extended, 2-dimensional oriented topological
field theories. We begin by constructing a non-trivial SO(2)-action on the framed bordism
bicategory. The cobordism hypothesis for framed manifolds allows us to transport this
action to the core of fully-dualizable objects of the target bicategory. We show that this
action is given by the Serre automorphism and compute the bicategory of homotopy fixed
points of this action. Finally, we identify this bigroupoid of homotopy fixed points with
the bicategory of fully-extended oriented topological quantum field theory with values
in an arbitrary symmetric monoidal bicategory. This proves the cobordism hypothesis
for two-dimensional oriented cobordisms.
Kurzfassung auf Deutsch: In der Klassifizierung von vollständig erweiterten zweidimensionalen topologischen Feld-
theorien spielen Bikategorien eine wichtige Rolle. Um topologische Feldtheorien mit zu-
sätzlicher geometrischer Struktur zu beschreiben, benötigt man zusätzliche algebraische
Struktur, die durch Homotopiefixpunkte einer Gruppenwirkung auf einer bestimmten
Bikategorie gegeben ist.

Im ersten Kapitel entwickeln wir einen mathematischen Formalismus zur Beschreibung
von Gruppenwirkungen auf Bikategorien. Gegeben die Wirkung einer topologischen
Gruppe auf einer Bikategorie, konstruieren wir explizit eine Bikategorie von Homoto-
piefixpunkten dieser Wirkung. Dieser Formalismus ermöglicht uns, Homotopiefixpunkte
von bestimmten Gruppenwirkungen explizit zu berechnen. Zwei fundamentale Beispiele
zeigen nun, dass sogar Homotopiefixpunkte von trivialen Gruppenwirkungen zusätzliche
Struktur sind: so ist die Bikategorie von endlichdimensionalen, halbeinfachen Frobeniu-
salgebren äquivalent zu der Bikategorie von Homotopiefixpunkten der trivialen SO(2)-
Wirkung auf der Bikategorie von vollständig dualisierbaren Algebren und Bimoduln.
Weiterhin zeigen wir, dass Homotopiefixpunkte der trivialen SO(2)-Wirkung auf der Bi-
kategorie von endlichen, linearen Kategorien äquivalent zur Bikategorie von Calabi-Yau
Kategorien sind.

Im nächsten Kapitel beschäftigen wir uns mit einer zusätzlichen äquivarianten Struk-
tur auf einem Funktor zwischen Bikategorien mit einer Gruppenwirkung. Wir zeigen,
dass solch ein äquivarianter Funktor zwischen zwei Bikategorien einen Funktor auf Ho-
motopiefixpunkten induziert. Als Anwendung betrachten wir den 2-Funktor, der einer
halbeinfachen Algebra ihre Darstellungskategorie zuweist. Dieser 2-Funktor hat eine
natürliche SO(2)-äquivariante Struktur, und induziert daher einen Funktor auf Homo-
topiefixpunkten. Sodann identifizieren wir diesen induzierten Funktor mit einer bereits
zuvor konstruierten Äquivalenz zwischen Frobeniusalgebren und Calabi-Yau Kategorien.
In den letzten beiden Kapiteln wenden wir uns der Klassifizierung von zweidimensio-
nalen, vollständig erweiterten, orientierten topologischen Quantenfeldtheorien zu: wir
konstruieren zunächst eine nicht-triviale SO(2)-Wirkung auf einem Skelett der Bika-
tegorie von gerahmten Bordismen. Die Kobordismushypothese für gerahmte Mannig-
faltigkeiten erlaubt uns, diese Wirkung auf den maximalen Untergruppoiden von voll-
ständig dualisierbaren Objekten der Zielkategorie zu transportieren. Wir zeigen, dass
diese SO(2)-Wirkung durch den Serre Automorphismus gegeben ist, und berechnen die
Bikategorie von Homotopiefixpunkten. Schlussendlich identifizieren wir diese Bikategorie
von Homotopiefixpunkten mit der Bikategorie von vollständig erweiterten, orientierten,
zweidimensionalen topologischen Feldtheorien mit Werten in einer symmetrisch monoida-
len Bikategorie. Dies beweist die Kobordismushypothese für zweidimensionale orientierte
Kobordismen.

Zugriffsstatistik

keine Statistikdaten vorhanden
Legende