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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-86581
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2017/8658/


The symplectic fermion ribbon quasi-Hopf algebra and the SL(2,Z)-action on its centre

Die symplektische Fermionen Ribbon Quasi-Hopfalgebra und die SL(2,Z)-Wirkung auf ihr Zentrum

Farsad, Vanda

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SWD-Schlagwörter: Algebra , Kategorientheorie , Konforme Feldtheorie
Basisklassifikation: 31.27
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Runkel, Ingo (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 14.06.2017
Erstellungsjahr: 2017
Publikationsdatum: 04.08.2017
Kurzfassung auf Englisch: This thesis is concerned with "n pairs of symplectic fermions" which are examples of logarithmic conformal field theories in two dimensions. The mathematical language of twodimensional conformal field theories (on Riemannian surfaces of genus zero) are vertex operator algebras. The representation category of the even part of the symplectic fermion vertex operator super-algebra Rep V_ev is conjecturally a factorisable finite ribbon tensor category.

This determines an isomorphism of projective representations between two SL(2,Z)-actions associated to V_ev. The first action is obtained by modular transformations on thespace of so-called pseudo-trace functions of a vertex operator algebra. For V_ev this was developed. For the second action one uses that Rep Vev is conjecturally a factorisable finite ribbon tensor category and thus carries a projective SL(2,Z)-action on a certain Hom-space.

To do so we calculate the SL(2,Z)-action on the representation category of a general factorisable quasi-Hopf algebras. Then we show that Rep Vev is conjecturally ribbon equivalent to Rep Q, for Q a factorisable quasi-Hopf algebra, and calculate the SL(2,Z)-action explicitly
on Rep Q.

The result is that the two SL(2,Z)-action indeed agree. This poses the first example of such comparison for logarithmic conformal field theories.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit befassen wir uns mit "n Paare symplektischer Fermionen". Dies sind Beispiele für logarithmische konformale Feldtheorien. Die mathematische Sprache von zweidimensionalen konformalen Feldtheorien (auf Riemannflächen mit Geschlecht null) sind Vertex Operatoralgebren. Die Darstellungskategorie des geraden Teils der symplektischen Fermionen Vertex Operatorsuperalgebra Rep V_ev ist vermutlich eine faktorisierbare, endliche Ribbontensorkategorie.

Hierdurch wird ein Isomorphismus von projektiven Darstellungen zwischen zwei SL(2,Z)-Wirkungen bestimmt, die man mit V_ev assoziieren kann. Die erste Wirkung erhält man durch modulare Transformation auf dem Raum der sogenannten Pseudo-Spurfunktionen einer Vertex Operatoralgebra. Diese Wirkung wurde für V_ev berechnet. Für die zweite Wirkung nutzt man, dass Rep V_ev vermutlich eine faktorisierbare, endliche Ribbontensorkategorie ist und daher eine projektive SL(2,Z)-Wirkung auf einen bestimmen Hom-Raum trägt.

Hierfür bestimmen wir die SL(2,Z)-Wirkung auf der Darstellungskategorie von beliebigen faktorisierbaren Quasi-Hopfalgebren. Danach zeigen wir, dass unter der oben stehenden Vermutung, Rep V_ev als Ribbontensorkategorie äquivalent zu Rep Q ist, wobei Q eine faktorisierbare Quasi-Hopfalgebra ist. Schließlich bestimmen wir explizit die SL(2,Z)-Wirkung auf Rep Q.

Es zeigte sich, dass beide SL(2; Z)-Wirkungen in der Tat übereinstimmen. Dies ist das erste Beispiel eines Vergleichs dieser Art für konformale Feldtheorien.

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