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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-86892
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2017/8689/


An extended dual weighted residual error estimator for discontinuous solutions of transport problems

Ein erweiterter dual gewichteter Residual-Fehlerschätzer für diskontinuierliche Lösungen von Transportproblemen

Beckers, Susanne

pdf-Format:
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SWD-Schlagwörter: Transportgleichung , Numerische Mathematik , Gitterverfeinerung
Freie Schlagwörter (Deutsch): Fehlerschätzer , zielorientiert , DWR , diskontinuierlich , DG
Freie Schlagwörter (Englisch): error estimator , goal oriented , DWR , discontinuous , DG
Basisklassifikation: 31.76 , 31.45
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Behrens, Jörn (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 10.05.2017
Erstellungsjahr: 2016
Publikationsdatum: 31.08.2017
Kurzfassung auf Englisch: In the dual-weighted residual method for goal-oriented error estimation residuals have to be evaluated which include the computation of derivatives. For hyperbolic problems in general the residuals are computed in the standard weak form. Potential discontinuities of the solution prohibit direct (weak) derivatives, therefore all derivatives are taken on the test function by means of partial integration. The same holds true for the dual problem. In the dual-weighted residual method, the test function of the primal residual contains the dual solution and the test function of the dual residual contains the primal solution. Therefore computation of residuals and weights is not well defined in the situation of coinciding discontinuities.

In this thesis the problem of coinciding discontinuities in primal and dual solution is avoided by adding artificial viscosity to the dual equation, while leaving the primal problem unchanged. This procedure causes an additional residual term in the error estimator, accounting for the inconsistency between primal and dual problem.

The effectivity of the extended error estimator, assessing the global error by a suitable functional of interest, is tested numerically in 1D and 2D. Used as an indicator to control grid refinement, the proposed extended and an unmodified error estimator perform similarly. However, only the proposed modified method provides an efficient error estimator in 1D.

In 2D, with the tested parameters and approximation of weights, the effectivity index does not converge to one. However, the efficiency of the modified error estimator is better than the unmodified one.
Kurzfassung auf Deutsch: Die dual-gewichtete Residuen (DWR) Methode für ziel-orientierte Fehlerschätzung nutzt die Auswertung von gewichteten Residuen zur Bestimmung von Fehlerschätzern. Dabei müssen auch Ableitungen berechnet werden. Bei hyperbolischen Problemen in der schwachen Form werden die Ableitungen durch partielle Integration auf die Testfunktionen angewendet, da mögliche Unstetigkeiten der Lösung selbst eine schwache Ableitung der Lösung nicht zulassen. Da dieser Sachverhalt auch für das duale Problem gilt, ist die Berechnung von Residuen und Gewichten im DWR Kontext für den Fall von aufeinandertreffenden Unstetigkeiten nicht definiert.

In dieser Arbeit wird das Problem der aufeinandertreffenden Unstetigkeiten umgangen, in dem in der dualen Gleichung eine künstliche Viskosität hinzugefügt wird. Dabei wird das primale Problem nicht verändert. Für dieses inkonsistente primale-duale Problem wird in dieser Arbeit ein Fehlerschätzer entwickelt, der im Vergleich zu dem klassischen DWR Fehlerschätzer ein zusätzliches duales Residuum beinhaltet, das der Inkonsistenz Rechnung trägt.

Die Effizienz des erweiterten Fehlerschätzers wurde in einem 1D Testfall untersucht, bei dem die analytische Lösung bekannt ist.
Dabei zeigte sich, dass sowohl der erweiterte, wie auch der klassische Fehlerschätzer als Fehlerindikator geeignet ist, jedoch nur die erweiterte Version effizient ist.

Des Weiteren wurde der Fehlerschätzer in 2D getestet, ohne eine gegebene analytische Lösung, sodass eine Approximation der Gewichte durchgeführt wurde. Der Effektivitätsindex des modifizierten Fehlerschätzers konvergierte mit den getesteten Parametern nicht gegen Eins. Jedoch ist die Effizienz des in diser Arbeit vorgeschlagenen Fehlerschätzers besser, als die des klassischen DWR Fehlerschätzers.

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