A Memory-Kernel-Free Approach to Time-Dependent Lattice Fermion Models

Abstract

We rigorously prove that any time-dependent, interacting lattice fermion model can be mapped to a corresponding noninteracting model. By construction, this effective model gives exact access to the one-particle Keldysh-Matsubara Green's function of the system -- at the cost of introducing an exponentially large number of virtual one-particle degrees of freedom. As the physics of the system are invariant under time-dependent unitary transformations involving these virtual degrees of freedom only, we explore two distinct realizations of the effective model: First, we choose the virtual subsystem to be diagonal which, upon tracing out the virtual sites, yields the nonequilibrium self-energy as a superposition of noninteracting isolated modes---the Lehmann representation. This result is highly useful to efficiently solve Dyson's equation numerically in contexts where an approximate self-energy is obtained from a small reference system. Calculating the effective noninteracting model instead of the self-energy, a memory-kernel-free time-propagation algorithm becomes possible.

This is demonstrated explicitly by choosing the nonequilibrium cluster perturbation theory (CPT) as a simple approach to study the long-time dynamics of an inhomogeneous initial state after a quantum quench in the Hubbard model on a 10x10 square lattice. We demonstrate that the violation of conservation laws is moderate for weak Hubbard interaction and that prethermalization physics are contained in the cluster approach. Improving upon plain CPT, we construct a conserving generalization. In form of local constraints on the local spin-dependent particle and the doublon density, we use the macroscopic conservation laws to self-consistently fix the time-dependent hopping in the reference cluster. Using a simple two-site cluster in a proof-of-concept calculation, we consider the dynamics of the two-dimensional, particle-hole-symmetric Hubbard model following a weak interaction quench. Indeed we find the dynamics profoundly altered in the conserving CPT. The doublon density shows a monotonous relaxation while strongly oscillating behavior is found within the plain CPT.

Leaving the topic of cluster-based theories, we also derive a second form of the effective model which is block-tridiagonal. The construction is analog to the Mori-Zwanzig projection technique which we generalize to Keldysh-Matsubara Green's functions. Based on our results we derive a selfconsistent nonequilibrium two-pole approach and explain how to enforce conservation laws. Finally, possible future applications are discussed.

Wir zeigen rigoros, dass jedes zeitabhängige wechselwirkende Gitterfermionenmodell auf ein anderweitig entsprechendes nicht-wechselwirkendes Modell abgebildet werden kann. Dieses effektive Modell ist so konstruiert, dass es exakten Zugriff auf die Einteilchen-Green-Funktion erlaubt --- zum Preis einer exponentiell großen Anzahl zusätzlicher virtueller Freiheitsgrade. Da die Physik des Systems invariant unter zeitabhängigen unitären Transformationen bleibt, welche ausschließlich diese virtuellen Freiheitsgrade involvieren, betrachten wir zwei mögliche Realisationen des effektiven Modells: Zuerst wählen wir das virtuelle Subsystem in diagonaler Form, wodurch sich bei Ausintegration der virtuellen Plätze die Nichtgleichgewichts-Selbstenergie als Überlagerung nichtwechselwirkender isolierter Moden erweist --- die Lehmann Darstellung. Dieses Resultat is sehr nützlich, wenn eine numerische Lösung der Dyson-Gleichung im Kontext von Approximationen benötigt wird, welche eine genährte Selbstenergie aus einem kleinen Referenzsystem bestimmen. Indem man anstatt der Selbstenergie das effektive Modell bestimmt, wird ein Markovscher Zeitpropagationsalgorithmus möglich, d.h. ohne Verwendung einer Erinnerungsfunktion.

Wir demonstrieren dies explizit am einfachen Beispiel der zeitabhängigen Cluster-Störungstheorie (CPT), indem wir die Langzeitdynamik eines inhomogenen Anfangszustands nach einem Quanten-Quench, beschrieben durch das Hubbard Modell auf einem 10x10 Quadratgitter, simulieren. Wir zeigen, dass die Verletzung von Erhaltungssätzen im Regime kleiner Hubbard-Wechselwirkungen moderat bleibt, und, dass Prethermalisierungsphysik im Clusteransatz enthalten ist. Daraufhin leiten wir eine erhaltende CPT ab, welche die fundamentalen Erhaltungssätze respektiert. In Form lokaler Zwangsbedingungen für die spinabhängige Teilchen- und Doublonendichte verwenden wir dabei die Erhaltungssätze, um die zeitabhängige Hüpfmatrix im Referenzcluster zu bestimmen. In einer ersten Rechnung betrachten wir die Dynamik eines zweidimensionalen Hubbard-Modells nach einem Quench auf schwache Wechselwirkung. In der Tat ergibt sich in eine starke Veränderung der Dynamik in der erhaltenden CPT. Die Doublonendichte zeigt eine monotone Relaxation, während sich in einer gewöhnliche CPT-Rechnung stark oszillierendes Verhalten findet.

Im Folgenden verlassen wir das Thema clusterbasierter Theorien und leiten eine alternative, block-tridiagonale Darstellung des effektiven Modells ab. Die Konstruktion ist analog zum Mori-Zwanzig-Formalismus, welchen wir auf Keldysh-Matsubara-Green-Funktionen verallgemeinern. Basierend auf diesem Resultat leiten wir einen selbstkonsistenten Zweipol-Ansatz ab und zeigen, wie Erhaltungssätze in diesem erzwungen werden können. Zuletzt diskutieren wir mögliche zukünftige Anwendungen.