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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-90996
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2018/9099/


Torelli theorems for rational elliptic surfaces and their toric degenerations

Torelli Theoreme für rationale elliptische Flächen und ihre torischen Entartungen

Bauer, Lisa

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SWD-Schlagwörter: Elliptische Fläche , Elliptische Kurve , Affine Geometrie , Deformationstheorie , Tropische Geometrie
Freie Schlagwörter (Deutsch): Torelli Theorem , Torische Entartung
Freie Schlagwörter (Englisch): Torelli Theorem , Toric degeneration
Basisklassifikation: 31.51
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Siebert, Bernd (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 20.12.2017
Erstellungsjahr: 2017
Publikationsdatum: 03.05.2018
Kurzfassung auf Englisch: This thesis consists of two parts. It starts with a known Torelli theorem, which holds for pairs (X,D) of a rational elliptic surface X with a section and irreducible fibres and a fixed smooth anticanonical divisor D. The surface X is called a dP9 surface. Moreover, the surface X carries a „geometric marking“. The category of such triples is equivalent to the category of homomorphisms from an E8 lattice into the Jacobi variety of some smooth elliptic curve D.
This Torelli theorem is generalized to the case of a smooth projective family with an effective divisor over an affine, Noetherian scheme. The geometric fibres of this family are given by pairs of a dP9 surface and a smooth anticanonical divisor. Moreover, the family is endowed with an analogue of the the geometric marking. It is shown that the category of such families with generalized marking is equivalent to the category whose objects are pairs of a smooth projective family of elliptic curves with a section a homomorphism.
In the second part of this thesis, we first consider an example of a toric degeneration of dP9 surfaces in detail. Based on explicit computations carried out in the example, the Torelli theorem from the first part of this thesis is generalized to toric degenerations of dP9 surfaces. Assuming that there exists an analytic log smooth versal divisorial deformation of a torically degenerated dP9 surface it is shown that the associated toric degeneration is a completion of this deformation along the central fibre.
After fixing some affine data, it is proved that the category of toric degenerations of dP9 surfaces is equivalent to the category whose objects are pairs of a toric degeneration of elliptic curves and a certain homomorphism.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Ausgangspunkt ist ein bereits bekanntes Torelli Theorem. Dieses Theorem gilt für Paare (X,D) bestehend aus einer rationalen elliptischen Fläche X mit einem Schnitt und irreduziblen Fasern, einer sogenannten dP9-Fläche, und einem fixierten glatten antikanonischen Divisor D. Darüber hinaus trägt die dP9-Fläche X eine „geometrische Markierung". Die Kategorie solcher Tripel ist äquivalent zu der Kategorie, deren Objekte durch Homomorphismen von einem E8-Gitter in die Jacobi Varietät einer glatten elliptischen Kurve D gegeben sind.
Dieses Torelli Theorem wird in der vorliegenden Arbeit auf den Fall einer glatten, projektiven Familie mit effektivem Divisor über einem affinen, Noetherschen Schema verallgemeinert, deren geometrische Fasern aus Paaren einer dP9 Fläche mit glattem antikanonischen Divisor bestehen. Diese Familien werdem mit einem Analogon der geometrischen Markierung versehen. Es wird gezeigt, dass die Kategorie, deren Objekte solche Familien mit verallgemeinerter Markierung sind, äquivalent ist zu der Kategorie deren Objekte durch Paare einer glatten, projektiven Familie elliptischer Kurven mit einem Schnitt und eines Homomorphismus gegeben sind.
Im zweiten Teil der Arbeit wird erst ein Beispiel einer torischen Entartung von dP9 Flächen im Detail betrachtet. Aufbauend auf expliziten Berechnungen aus diesem Beispiel wird das Torelli Theorem aus dem ersten Teil der Arbeit auf torische Entartungen von dP9 Flächen verallgemeinert. Unter der Annahme, dass eine analytische, log glatte, verselle divisoriale Deformation einer torisch entarteten dP9 Fläche existiert, wird gezeigt, dass die zugehörige torische Entartung eine Vervollständigung dieser Deformation an der zentralen Faser darstellt.
Nachdem gewisse affine Daten fixiert wurden, wird bewiesen, dass die Kategorie torischer Entartungen von dP9-Flächen äquivalent zu der Kategorie ist, deren Objekte als Paare einer torischen Entartung elliptischer Kurven und eines Homomorphismus gegeben sind.

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