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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-91823
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2018/9182/


Conserving dynamical mean-field approaches to strongly correlated systems

Erhaltende dynamische Molekularfeldnäherungen für stark korrelierte Systeme

Krien, Friedrich

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Freie Schlagwörter (Englisch): conserving approximations , dynamical mean-field theory , dual fermion , dual boson , strongly correlated electrons
Basisklassifikation: 33.60 , 33.61
Institut: Physik
DDC-Sachgruppe: Physik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Lichtenstein, Alexander (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 26.04.2018
Erstellungsjahr: 2018
Publikationsdatum: 04.07.2018
Kurzfassung auf Englisch: Abstract In this thesis I present numerical methods that are designed to calculate the spectra of collective excitations in strongly correlated systems. Several qualitative features of these spectra are related to conservation laws, which are very diffcult to satisfy.
In1989 a theory was discovered that is able to describe collective excitations realistically, even when electronic interactions are strong: The dynamical mean-field theory. This theory has become one of the most important tools to understand correlated systems and phenomena that are characteristic for them, such as superconductivity, magnetism, or the Mott-insulating state. Huge efforts are made worldwide to extend the range of applicability of the dynamical mean-field theory, for example, to long-ranged interactions. In this work I present several applications of methods beyond dynamical mean-field theory and, due to the importance of conservation laws for collective excitations, I examine if these can be satisfied. In fact, already in 1962 a work of Gordon Baym [15] answered this question once and for all, but not quite in the exact way that we need today. The statements that were proven by G. Baym are formulated in the form that seemed most useful back then, when theorists were still using the continuum notation of the many-body problem most of the time. Today, however, one usually makes use of the lattice notation. I believe that it is often overlooked that some of the powerful statements that G. Baym was able to derive for the continuum are not in general valid on the lattice, and of this I like to raise awareness and offer some ideas for a solution.
The question of conservation laws is closely related to a fundamental equation, the Ward identity. Unfortunately, this identity seems abstract, while it is merely a reformulation of the continuity equation. Like G. Baym's paper, the Ward identity is often formulated in the continuum. It is then not very obvious how useful it can be in the context of lattice and impurity models, of which I give a detailed account. When one examines the Ward identity in the lattice notation, it becomes clear at which point G. Baym's theory is undercut, but unfortunately I was not able to close this gap. Therefore, a central objective of this text is to document this problem in detail, in order to provide a basis for a future solution.
The remaining discussion concerns the dynamical mean-field theory. I show that this theory can be derived from the Ward identity and that this makes its conserving features very explicit.
This approach also gives an idea of how the dynamical mean-field theory
should be generalized to long-ranged interactions, where unexpected distinctions occur between interactions in the charge and in the spin channels. On the same note, I also have to conclude that the dynamical mean-field should not be changed when the interaction is short-ranged. Along the way I discuss four applications of the dynamical mean-field theory and its derivatives. These are related to collective excitations near a Mott transition, to the description of magnons in an antiferromagnet, to long-ranged interactions, and to thermodynamic consistency.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit präsentiere ich numerische Verfahren, deren Ziel es ist die Spektren kollektiver Anregungen in stark korrelierten Elektronensystemen zu bestimmen. Einige qualitative Eigenschaften dieser Spektren hängen mit Erhaltungssätzen zusammen, die nur schwer erfüllbar sind. Im Jahr 1989 wurde eine Theorie entdeckt, die eine realistische Beschreibung kollektiver Anregungen ermöglicht, sogar wenn die elektronischen Wechselwirkungen stark sind: Die dynamische Molekularfeldtheorie. Diese Theorie ist zu einer der wichtigsten Methoden geworden um korrelierte Systeme zu beschreiben, sowie die charakteristischen Phänomene die in ihnen auftreten, wie die Supraleitung, der Magnetismus oder die Mott-Isolatorphase. Groÿe Anstrengungen werden weltweit unternommen, um den Anwendungsbereich dieser Theorie zu vergöÿern, zum Beispiel auf langreichweitige Wechselwirkungen.
In dieser Arbeit präsentiere ich mehrere Anwendungen von Methoden jenseits der dynamischen Molekularfeldtheorie und ich untersuche, aufgrund der Bedeutung der Erhaltungssätze für kollektive Anregungen, ob diese erfüllt werden können.
Tatsächlich wurde diese Frage bereits im Jahr 1962 in einer Arbeit von Gordon
Baym [15] abschlieÿend beantwortet, aber nicht auf die genaue Weise wie wir sie heute brauchen.
Die Aussagen die von G. Baym bewiesen wurden sind so formuliert wie sie
damals am nützlichsten erschienen, als Theoretiker noch häufig die Kontinuumsnotationdes Viel-Teilchenproblems verwendeten. Heute wird hingegen zumeist die Gitternotation verwandt. Ich glaube, dass häufig übersehen wird, dass einige der wichtigen Aussagen die G. Baym damals für das Kontinuum beweisen konnte auf dem Gitter nicht allgemein gültig sind, darauf möchte ich Aufmerksamkeit lenken und einige Lösungsvorschläge anbieten.
Die Frage nach Erhaltungssätzen ist eng verbunden mit einer fundamentalen Gleichung, der Ward-Identität. Leider wirkt diese Gleichung abstrakt, obwohl sie lediglich eine Umformulierung der Kontinuitätsgleichung darstellt. Wie die Arbeit G. Baym's wird die Ward- Identität häufig im Kontinuum formuliert. Es ist dann nicht offensichtlich, wie nützlich sie im Rahmen von Gitter- und Störstellenmodellen sein kann, was ich detailliert beschreibe.
Wenn man die Ward-Identität in der Gitternotation untersucht wird klar an welcher Stelle die Gültigkeit der Baymschen Theorie unterlaufen wird, leider war ich nicht in der Lage diese Lücke zu schlieÿen. Ein Ziel dieser Arbeit ist es daher das vorliegende Problem genau zu dokumentieren, um eine Basis für eine zukünftige Lösung zu schaffen.
Die verbleibende Diskussion bezieht sich auf die dynamische Molekularfeldtheorie. Ich zeige, dass diese Theorie von der Ward-Identität abgeleitet werden kann und dass dies ihre Vorzüge bezüglich der Erhaltungssätze besonders zum Vorschein bringt.
Diese Herangehensweise ermöglicht auch einen Einblick wie die dynamische Molekularfeldtheorie für langreichweitige Wechselwirkungen verallgemeinert werden sollte, wobei unerwartete Unterschiede zwischen Wechselwirkungen in den Ladungs- und den Spinkanälen zutage treten.
Gleichzeitig komme ich zu dem Schluss, dass das dynamische Molekularfeld nicht verändert werden sollte, wenn die Wechselwirkung kurzreichweitig ist. Begleitend zu diesen Betrachtungen werden vier Anwendungen der dynamischen Molekularfeldtheorie und verwandter Theorien diskutiert. Diese betreffen kollektive Anregungen nahe eines Mott-Übergangs, die Beschreibung von Magnonen in einem Antiferromagneten, langreichweitige Wechselwirkungen und thermodynamische Konsistenz.

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