Changepoint detection in a nonparametric time series regression model

Abstract

Bei der Betrachtung zeitlich geordneter Daten gehört die Stabilität, in der einen oder anderen Form, zu den typischen Annahmen. Strukturelle Veränderungen treten allerdings in allen Anwendungsbereichen, wie beispielsweise in Klima- und Wetterdaten, Finanz- und Ökonometriezeitreihen, aber auch in Datenerhebungen in der Biologie oder Medizin, auf. Sie bei der Modellbildung unberücksichtigt zu lassen, führt zu falschen Analysen und Schlussfolgerungen. Tests auf strukturelle Veränderungen, sogenannte Changepoints oder auch Strukturbrüche genannt, sind daher von großer Bedeutung und Gegenstand aktueller Forschung. Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag im Bereich der Changepointanalyse in nichtparametrischen heteroskedastischen Zeitreihenmodellen, wobei die Herleitung von Hypothesentests auf mögliche Changepoints im Mittelpunkt steht. Sie ist wie folgt gegliedert. Kapitel 1 liefert einen Überblick zu relevanter Literatur, sowie die Vorstellung des betrachteten Modells und die grundlegenden Begrifflichkeiten. In Kapitel 2 werden die Kernschätzer vorgestellt und gleichmäßige Konvergenzraten hergeleitet. Kapitel 3 ist der Hauptteil dieser Arbeit. Es beinhaltet die Konstruktion des Tests auf Strukturbrüche in der bedingten Erwartungswertfunktion. Die betrachtete Teststatistik basiert auf dem markierten sequentiellen empirischen Prozess der Residuen. Unter der Nullhypothese, dass es keinen Strukturbruch gibt, und einer Stationaritätsannahme wird die asymptotische Verteilung der Teststatistik bewiesen. Außerdem wird ein Konsistenzresultat unter einfachen Changepointalternativen geliefert. Ein Literaturvergleich legt die Relevanz und den Vorteil des neuen Testverfahrens nahe. Des Weiteren wird in Kapitel 4 ein Bootstraptest motiviert, welcher auch bei fehlender Stationarität unter der Nullhypothese anwendbar ist. Insbesondere erlaubt dies das Testen auf Strukturbrüche in der Regressionsfunktion, auch bei auftretenden Varianzschwankungen. In Kapitel 5 wird ein Test auf Veränderung in der bedingten Varianzfunktion vorgeschlagen. Es beinhaltet Vermutungen zur Grenzverteilung unter der Nullhypothese, sowie Konsistenzverhalten unter Changepointalternativen. Die Ergebnisse einer ausführlichen Simulationsstudie und der Anwendung der Tests auf zwei Datensätze sind in Kapitel 6 zusammengefasst. Alle technischen Hilfsresultate können in Anhang A gefunden werden. Weiter beinhaltet Anhang B ein neues Resultat zur schwachen Konvergenz sequentieller empirischer Prozesse induziert in Funktionenklassen und mit abhängigen Daten. Es ist in einer Allgemeinheit formuliert, die anderweitige Anwendungen ermöglicht.

When observing data over a given period of time, a typical assumption is structural stability in some form or another. However, in all possible areas, as for instance climate and weather data, finance and econometric time series, as well as data collected in biology or medicine, instabilities do occur and most likely lead to false inference if disregarded. Hence, change detection and estimation procedures are of undeniable interest and have justifiably gained extensive attention in literature. This thesis makes a contribution in the field of changepoint analysis in nonparametric heteroscedastic time series regression models, focusing on the detection of possible changes rather than their estimation. It is structured as follows. Chapter 1 gives a brief overview on relevant literature concerning changepoint analysis in regression models. The model under consideration is introduced and some basic definitions are given. In Chapter 2, the kernel estimators are presented and uniform rates of convergence are proven. Chapter 3 is the main part of this thesis. It contains the construction of a test to detect changes in the conditional mean function which is based on the sequential marked empirical process of residuals. The limiting distribution under the null hypothesis of no changepoint and a stationarity assumption is proven, as well as a consistency result under a simple fixed alternative is given. Finally, to emphasize the advantage of the proposed procedure, related literature is discussed. Furthermore, a bootstrap version of the test is constructed in Chapter 4, and it is suggested that it is a valid testing procedure even without the validity of the strict stationarity assumption under the null. This particularly allows for changes in the variance when testing for changes in the regression function. Additionally, by extending already acquired methods, a test for change in the conditional variance function is obtained in Chapter 5. It contains a heuristic discussion of the limiting distribution under the null and consistency properties against changepoint alternatives. Finally, in Chapter 6, the finite sample performance of the tests, presented in this thesis, is investigated. Both level and power simulations in various time series models are conducted. Additionally, the tests are applied to two real data sets that are frequently used in changepoint context. Technical and auxiliary lemmata for all proofs can be found in Appendix A. A weak convergence result for sequential empirical processes with weakly dependent data is given in Appendix B. It is needed for the main result of this thesis, but may also be of interest on its own.