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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-94463
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2018/9446/


Second Order Convergent Discontinuous Galerkin Projection Method for Dispersive Shallow Water Flows

Ein Discontinuous Galerkin Projektionsverfahren zweiter Konvergenzordnung für dispersive Flachwasserströmungen

Jeschke, Anja

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Freie Schlagwörter (Deutsch): nicht-hydrostatischer Druck , unstetige Galerkin , zweite Ordnung , Green-Nagdhi , Serre , Flachwasser
Freie Schlagwörter (Englisch): non-hydrostatic pressure , Discontinuous Galerkin , second order , projection method , Boussinesq , shallow water
Basisklassifikation: 31.76
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Behrens, Jörn (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 17.10.2018
Erstellungsjahr: 2018
Publikationsdatum: 05.12.2018
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Arbeit wird ein unstetiges Galerkin (DG)-Verfahren zweiter Konvergenzordnung für die nicht-hydrostatische Erweiterung der Flachwassergleichungen in einer Raumdimension vorgestellt. Dieses Verfahren ist als Projektionsverfahren implementiert, und es ist, nach dem Kenntnisstand der Autorin, das erste DG-Verfahren und das erste Verfahren zweiter Konvergenzordnung für die nicht-hydrostatischen Gleichungen.
Analytische Lösungen resultieren aus einer Äquivalenz dieser Gleichungen zu bekannten Gleichungen des Boussinesq-Typs. Diese Äuqivalenz kann gezeiget werden, falls eine Annahme in der Herleitung der nicht-hydrostatischen Gleichungen angepasst wird. Diese Annahme ist das vertikale Druckprofil des nicht-hydrostatischen Drucks. Eine Verbesserung der Verfahrenseffizienz wird vorgestellt, die dadurch erreicht wird, dass die nicht-hydrostatischen Gleichungen nur lokal auf einem Teilgebiet gelöst werden.

Für die Erweiterung des Gültigkeitsbereichs der hydrostatischen Flachwassergleichungen zur Modellierung von Dispersion werden üblicherweise zwei unterschiedliche Ansätze verwendet: Die Gleichungen des Boussinesq-Typs und die nicht-hydrostatische Erweiterung der Flachwassergleichungen. Bisher wurden beide Ansätze noch nicht analytisch in Bezug auf ihre Annahmen verglichen. Das vertikale Druckprofil des nicht-hydrostatischen Drucks in den nicht-hydrostatischen Gleichungen wird traditionell als linear angenommen. In dieser Arbeit wird diese Annahme durch die Herleitung eines quadratischen Druckprofil ersetzt, die auch den Gleichungen des Boussinesq-Typs zugrunde liegt. Dadurch wird Äquivalenz der nicht-hydrostatischen Gleichungen zu den Green-Naghdi-Gleichungen gezeigt, die sich im Falle konstanter Bodentopographie zu den Serre-gleichungen vereinfachen. Unter Verwendung des linearen Druckprofils kann keine Äquivalenz zu einer bekannten Gleichung vom Boussinesq-Typ gezeigt werden. Im Grenzfall der langen Wellen ist das quadratische Druckprofil zu wählen.

Zur Diskretisierung der nicht-hydrostatischen Gleichungen wird ein DG-Verfahren zweiter Ordnung präsentiert. Ein inkrementelles Projektionsverfahren unterteilt die zeitdiskreten Gleichungen in einen Prediktorschritt, die Lösung einer elliptischen Gleichung und einen Korrekturschritt. Der Prediktorschritt verwendet das Runge-Kutta-DG (RK-DG)-Verfahren mit linearen Polynomen und einer linearen Extrapolation des nicht-hydrostatischen Druckterms. Die elliptische Gleichung für den nicht-hydrostatischen Druck wird als System erster Ordnung und unter Verwendung des lokalen DG (LDG)-Verfahrens gelöst. Der Korrekturschritt aktualisiert die im Prediktorschritt berechneten Größen mit dem nicht-hydrostatischen Druck der elliptischen Gleichung. Zur Verwendung im LDG-Verfahren werden numerische Flüsse für periodische und reflektierende Randbedingungen der nicht-hydrostatischen Gleichungen hergeleitet und deren Stabilität gezeigt. Analytische Lösungen für den Testfall der stehenden Welle und eine Solitärwelle der Serre-Gleichungen ermöglichen die Durchführung von Konvergenztests mit dem numerischen Verfahren, um die zweite Genauigkeitsordnung auf konstanter Bodentopographie zu zeigen. Das numerische Modell wird außerdem mithilfe von analytischen Lösungen und Labordaten unter Verwendung von Dirichlet-, periodischen und reflektierenden Randbedingungen, komplettiert durch ein Überflutungsschema, validiert. Beide Druckprofile verhalten sich gleichermaßen gut unter reflektierenden Randbedingungen und im Überflutungsprozess. Auf nicht-konstanter Bodentopographie ist es dem vorliegenden Verfahren nicht möglich alle Eigenschaften der Green-Naghdi-Gleichungen wiederzuspiegeln. Daher kann in manchen Fällen das lineare Druckprofil bessere Ergebnisse im Vergleich zum quadratischen ruckprofil zeigen. Auf konstanter Bodentopgraphie zeigen beide Druckprofile die erwarteten Ergebnisse.

Die Entwicklung einer lokalen Version des nicht-hydrostatischen Modells verbessert die Effizienz des Verfahrens. Ein einfaches Kriterium, das auf linearer Theorie basiert, wird zur Unterteilung des Rechengebiets in eine hydrostatische und eine nicht-hydrostatische Region definiert. Vorläufige Tests der lokalen Version zeigen im Vergleich mit dem globalen nicht-hydrostatischen Modell sehr ähnliche Ergebnisse, falls sowohl das Kriterium als auch die Auflösung sorgfältig ausgewählt werden. Die lokale Version des nicht-hydrostatischen Verfahrens spart ca. 60% des zusätzlichen Rechenaufwands des nicht-hydrostatischen Verfahrens im Vergleich zur alleinigen Lösung der hydrostatischen Gleichungen.
Kurzfassung auf Englisch: This thesis presents a second order convergent discontinuous Galerkin (DG) method for the non-hydrostatic extension for shallow water equations in one spatial dimension. The scheme is implemented as a projection method, and it is, to the author’s knowledge, the first DG method as well as the first scheme of second order of convergence for this non-hydrostatic equation set. Analytical solutions result from an equivalence of Boussinesq-type equations to the non-hydrostatic extension for shallow water equations. The equivalence is shown in case of an assumption in the derivation of the non-hydrostatic equation set is adapted. This assumption is the vertical profile of the non-hydrostatic pressure. Computational efficiency issues are tackled applying the non-hydrostatic equation set in a local manner on a subset of the computational domain.

Two different approaches are considered traditionally, if the hydrostatic regime of validity of the shallow water equations is expanded to model dispersive properties: Boussinesq-type equations and the non-hydrostatic extension for shallow water equations. So far, both approaches were not compared analytically with respect to underlying physical assumptions. The vertical profile of the non-hydrostatic pressure considered in the non-hydrostatic equation set is usually linear. We adapt the assumption of a linear pressure profile to be quadratic as in Boussinesq-type equations to show equivalence. In this case, the non-hydrostatic extension for shallow water equations is equivalent to the Green-Naghdi equations reducing to the Serre equations on constant bathymetry. There is no equivalence to any known Boussinesq-type equation, if the linear pressure profile is applied. The quadratic pressure profile is the correct one in the long-wave limit.

The non-hydrostatic equation set is discretized with a DG scheme of second order. An incremental projection method splits the time-discrete equations into a predictor relying on the hydrostatic shallow water equations, the solution of an elliptic equation, and a correction step. The predictor applies the Runge-Kutta DG method with linear polynomials and a linear extrapolation for the non-hydrostatic pressure term. The elliptic equation for the non-hydrostatic pressure is solved as a system of first order equations using the local discontinuous Galerkin (LDG) method. The corrector step updates the predicted quantities with the non-hydrostatic pressure computed with the elliptic equation. Numerical fluxes for the LDG method corresponding to periodic and reflecting boundary conditions for the non-hydrostatic equation set are derived and their stability is proofed.

Analytical standing and solitary wave solutions of the Serre equations enable convergence tests with the numerical model to show second order accuracy on constant bathymetry. Furthermore, the non-hydrostatic model is validated with analytical solutions and experimental data using Dirichlet, periodic and reflecting boundary conditions completed with an inundation scheme. Both profiles behave equally well under reflection and during the inundation process. On non-constant bathymetry, the present model formulation is not able to represent all properties of the Green-Naghdi equations. Hence, the linear pressure profile may yield better results compared to the quadratic pressure profile. On constant bathymetry, both ressure profiles behave as expected.

The development of a local approach of the non-hydrostatic model improves the computational efficiency. A simple splitting criterion is defined that is based on linear theory and separates the computational domain into a hydrostatic and a non-hydrostatic region. Preliminary tests applying the local approach show very similar model results compared to the global non-hydrostatic model results, if the splitting criterion as well as the resolution are chosen carefully. The local approach saves approximately 60% of the computational overhead if the non-hydrostatic model compared to the hydrostatic model.

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