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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-95079
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2019/9507/


Sparse Frequency Estimation : Stability and Algorithms

Frequenzschätzung von Exponentialsummen : Stabilität und Algorithmen

Diederichs, Benedikt

pdf-Format:
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SWD-Schlagwörter: Parameterschätzung , Prony-Verfahren , Harmonische Analyse , Nichtharmonische Fourier-Reihe
Freie Schlagwörter (Englisch): sparse frequency estimation , super resolution , frequency analysis , Prony's method
Basisklassifikation: 31.35 , 31.80
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Iske, Armin (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 17.08.2018
Erstellungsjahr: 2018
Publikationsdatum: 10.01.2019
Kurzfassung auf Englisch: The thesis at hand is concerned with the problem of sparse frequency estimation. It can be described as follows: Presented with a finite number of samples of an exponential sum, one wishes to calculate its spectrum, which is a discrete set. The focus is on the higher dimensional case, which attracted considerable attention in the last few years.
In the first part of this thesis, we prove that in the one and two dimensional case, the sparse frequency problem is conditionally well-posed. More precisely, we give rather sharp estimates, which guarantee that if two exponential sums have well separated frequencies and their samples are close, so are their frequencies. Further, we give a posteriori error estimates. To prove that, we rely on special band-limited functions, satisfying certain sign patterns. And while such functions are known for quite
some time, non of them satisfies an additional property we need. Therefore, we give a construction of such a function and start by reviewing the necessary results from sampling theory.
In the second part, we turn to algorithms to actually solve the estimation problem. We quickly review classical univariate methods and then turn to so-called projection based methods. They cleverly reduce the higher dimensional problem to multiple one dimensional ones, by sampling the exponential sum along several lines. We give recovery guarantees for scattered as well as for parallel lines. For the latter case, we propose a new ESPRIT-like algorithm, combining the estimates along several lines
into a single step.
Finally, we turn to other multivariate methods. By explicitly considering the signal space, we can quite naturally deduce higher dimensional analogs of Prony's method, ESPRIT and MUSIC. That allows us to extend Sauer's sampling set, originally proposed for Prony's method, to ESPRIT and MUSIC, which reduces the number of necessary samples as well as the computational complexity significantly.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Frequenzschätzung von Exponentialsummen. Kurz gesagt ist die Aufgabe, aus einer endlichen Anzahl abgetasteter Funktionswerte die unbekannten Frequenzen, also das diskrete Spektrum, einer Exponentialsumme zu berechnen. Gerade der höher dimensionale Fall hat in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen.
Der erste Teil dieser Arbeit behandelt die Wohlgestelltheit des Frequenzschätzungsproblem. Die Leitfrage lässt sich wie folgt formulieren: Wenn man zwei Exponentialsummen hat, deren abgetastete Funktionswerte eng beieinander liegen, was kann über ihre Frequenzen ausgesagt werden? Unter der (notwendigen) Voraussetzung, dass beide Exponentialsummen wohlseparierte Frequenzen haben, werden scharfe Abschätzungen gezeigt. Diese führen dann zu a posteriori Abschätzungen. Für den Beweis benötigt man spezielle, bandlimitierte Funktion, die einer Vorzeichenbedingung genügen. Da die bisher bekannten Funktionen dieser Klasse nicht über eine notwendige zusätzliche
Eigenschaft verfügen, wird eine geeignete Konstruktion angegeben. Dazu werden Ergebnisse aus der Sampling Theorie verwendet, weshalb das Kapitel mit einer kurzen Einführung in diese beginnt.
Der zweiten Teil wendet sich dem algorithmischen Aspekt des Problems zu. Nach einer kurzen Wiederholung einiger gängiger Methoden, werden zunächst projektionsbasierte Verfahren diskutiert. Diese reduzieren das höherdimensionale Problem auf mehrere eindimensionale Probleme, indem die multivariate Exponentialsumme entlang einiger Linien abgetastet wird. Sowohl für den Fall von parallelen, wie auch von paarweise nicht parallelen Linien werden Kriterien, die eine Wiederherstellung garantieren, bewiesen. Im Fall von parallelen Linien wird ein ESPRIT ähnliches Verfahren vorgeschlagen,
dass die entstehenden eindimensionalen Probleme gleichzeitig löst.
Anschließend werden andere Zugänge zum mehrdimensionalen Frequenzschätzungsproblem besprochen. Durch Einführen des Signalraums lassen sich leicht Varianten von Pronys Verfahren, ESPRIT und MUSIC für diesen Fall entwickeln. Insbesondere erlaubt dies die Verwendung von sehr kleinen Abtastmengen, was die bisher bekannte Theorie für ESPRIT und MUSIC erweitert. Weiterhin wird dadurch die Komplexität erheblich reduziert. Solche Abtastmengen wurden vorher von Sauer für das Pronyverfahren eingeführt.

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