Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein Kollokationsverfahren zur Lösung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen auf unstrukturierten Gittern in zwei Raumdimensionen entwickelt, welches sich leicht auf höhere Dimensionen übertragen lässt. Insbesondere setzt unsere Methode keine Tessalation des Rechengebietes voraus, sondern verwendet lediglich eine gleichmäßig verteilte Punktwolke und Nachbarschaftsrelationen zwischen Punkten.

Punktbasierte Verfahren werden typischerweise als Finite-Differenzen-Verfahren auf kartesischen Gittern implementiert, wobei in der Regel eine an das klassische Lax-Friedrichs-Verfahren angelehnte Regularisierung der punktweise gegebenen Näherungslösung vorgenommen wird. Derartige Gitter eignen sich nur bedingt zur Modellierung komplexer Geometrien.

Für das in dieser Arbeit vorgestellte Kollokationsverfahren konnten numerische Flussfunktionen zur näherungsweisen Lösung von Riemann-Problemen in geeignet gewählten Raumrichtungen eingesetzt werden. Die zur Berechnung der Divergenzen für die einzelnen Kollokationsfunktionale erforderlichen Gewichte lassen sich als Lösungen dualer Probleme effizient in der Vorbereitungsphase des Programmes bestimmen. Als entscheidend zur Stabilisierung des Verfahrens erweist sich die Wahl der Kollokationsfunktionale als Konvexkombination der auch für die Divergenzapproximation verwendeten Punktauswertungen.

Zusammen mit einer aus dem Bereich der Finite-Volumen-Verfahren bekannten WENO-Rekonstruktion lassen sich in zweidimensionalen Testfällen Lösungen und Rechenzeiten, die denjenigen etablierter Finite-Volumen-Methoden vergleichbar sind, erreichen. Wir zeigen, dass diese Art der Rekonstruktion sowohl für Kollokations- als auch für Zellmittelungsfunktionale gleichmäßig stabil unter Ähnlichkeitstransformationen des Rechengebietes ist und ordnen unser Verfahren in eine allgemeine Theorie, welche auch die Finite-Volumen-Verfahren umfasst, ein.

Den Abschluss der Arbeit bilden numerische Testfälle. Diese demonstrieren, dass die vorgestellte Methode stabil und geeignet ist, Unstetigkeiten mit hoher Genauigkeit aufzulösen.