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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-98550
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2019/9855/


Adaptivity in Model Order Reduction with Proper Orthogonal Decomposition

Adaptivität in der Modellreduktion mit Proper Orthogonal Decomposition

Gräßle, Carmen

pdf-Format:
 Dokument 1.pdf (8.823 KB) 


SWD-Schlagwörter: Ordnungsreduktion , Optimale Kontrolle , Finite-Elemente-Methode , Fehlerabschätzung , Simulation
Freie Schlagwörter (Englisch): model order reduction , proper orthogonal decomposition , adaptivity , optimal control , finite elements , error estimates , phase field systems
Basisklassifikation: 31.76 , 31.80
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Hinze, Michael (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 25.06.2019
Erstellungsjahr: 2019
Publikationsdatum: 12.07.2019
Kurzfassung auf Englisch: This thesis is concerned with the approximation of dynamical systems and the optimal control thereof using model order reduction based on proper orthogonal decomposition (POD). The basic idea of this approach is to replace high-fidelity models by low-order surrogates utilizing a Galerkin projection based approach with a non-local basis.

A crucial challenge within snapshot based POD model order reduction for time-dependent systems lies in the input dependency. In an offline phase, the POD basis is computed from snapshot data obtained by solving the high-fidelity model at several time instances. If a dynamical structure is not captured by the snapshots, this feature will be missing in the reduced-order solution. In this sense, the accuracy of the POD surrogate solution is restricted by how well the snapshots represent the underlying coherent structures.

If the process of snapshot sampling is restricted to uniform and static discretizations, this might require very fine resolutions in the whole space-time domain in order to capture important dynamical properties. As a consequence, large-scale systems arise which are computationally expensive or even infeasible to solve.

The objective of this work is to introduce offline adaptation strategies which aim to identify problem-specific key dynamics. In the first part, a snapshot location strategy for optimal control problems is proposed which utilizes residual based a-posteriori error estimates in order to detect suitable time instances for snapshot generation. In the second part, the inclusion of spatial adaptivity in the offline phase for snapshot generation enables to resolve important structures within the spatial domain. We consider the problem setting from an infinite-dimensional view and investigate how POD in Hilbert spaces can be implemented in practice. It is an advantage of this perspective that it only requires the snapshots to live in a common Hilbert space which leads to a great flexibility concerning the actual discretization technique. Moreover, regarding optimal control problems adaptive strategies are crucial in order to adjust the POD model according to the current optimization iterate. In the context of model order reduction for incompressible flows with space-adapted snapshots, two approaches are proposed in order to derive a stable reduced-order model.
Kurzfassung auf Deutsch: Diese Arbeit befasst sich mit der Approximation dynamischer Systeme und der Optimalsteuerung dieser mittels Modellreduktion basierend auf Proper Orthogonal Decomposition (POD). Die grundlegende Idee dieses Ansatzes ist, die hoch-dimensionalen Systeme durch niedrig-dimensionale Modelle mithilfe eines Galerkin Projektions-basierten Ansatzes mit nicht-lokaler Basis zu ersetzen.

Eine wesentliche Herausforderung innerhalb Snapshot-basierter POD Modellreduktion für zeitabhängige Systeme liegt in der Abhängigkeit von Eingangsdaten. In einer offline Phase wird eine POD Basis bezüglich Snapshots berechnet, welche durch Lösen des hoch-dimensionalen Modells an verschiedenen Zeitpunkten generiert werden. Falls eine dynamische Struktur nicht in den Snapshots erfasst wird, bleibt diese Eigenschaft auch in der reduzierten Lösung fern. In diesem Sinne ist die POD reduzierte Lösung dadurch eingeschränkt, wie gut die Snapshots die zugrunde liegenden kohärenten Strukturen erkennen.

Falls der Prozess der Snapshot Generierung auf uniforme und statische Gitter eingeschränkt ist, kann dies zu sehr feinen Auflösungen im gesamten Raum-Zeit Gebiet führen, damit wichtige dynamische Eigenschaften erfasst werden können. Folglich entstehen hoch-dimensionale Systeme, welche rechnerisch aufwändig oder sogar nicht durchführbar sind.

Zielsetzung dieser Arbeit ist, offline adaptive Strategien einzuführen, welche das Ziel haben problemspezifische Schlüsseldynamiken zu identifizieren. Im ersten Teil wird eine Snapshot Platzierungsstrategie für Optimalsteuerungsprobleme vorgeschlagen, welche residualbasierte a-posteriori Fehlerschätzer verwendet um geeignete Zeitpunkte für die Snapshot Generierung zu bestimmen. Im zweiten Teil ermöglicht die Einbindung von Ortsadaptivität in der offline Phase der Snapshot Generierung wichtige Strukturen innerhalb des örtlichen Gebietes aufzulösen. Wir betrachten die Problemstellung aus einer unendlich-dimensionalen Sichtweise und untersuchen wie POD in Hilberträumen praktisch implementiert werden kann. Es ist ein Vorteil dieser Perspektive, dass lediglich erfordert wird, dass die Snapshots in einem gemeinsamen Hilbertraum leben, was eine große Flexibilität bezüglich der tatsächlichen Diskretisierungstechnik zur Folge hat. Außerdem sind im Kontext von Optimalsteuerungsproblemen adaptive Strategien wesentlich um das POD Modell an die aktuelle Optimierungsiterierte anzupassen. Im Zusammenhang der Modellreduktion für inkompressible Strömungen mit ortsadaptiven Snapshots stellen wir zwei Methoden vor um ein stabiles reduziertes Modell herzuleiten.

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