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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-99812
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2019/9981/


On infinite graphs and infinite groups

Über unendliche Graphen und unendliche Gruppen

Miraftab, Babak

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SWD-Schlagwörter: Flows , Hamilton cycles , Infinite graphs , infinite groups , tree-decompositions and tree-amalgamations
Basisklassifikation: 31.12
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Diestel, Reinhard (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 10.09.2019
Erstellungsjahr: 2019
Publikationsdatum: 26.09.2019
Kurzfassung auf Englisch: This thesis deals with various topics concerning infinite graphs and finitely generated infinite groups using many ideas from topological infinite graph theory and geometric group theory.

In Chapter 3, we extend algebraic flow theory of finite graphs to infinite graphs with ends via abelian Hausdorff topological groups. This is achieved by developing a new compactness method for arbitrary (not necessarily locally finite) infinite graphs.

In Chapter 4 we prove some sufficient conditions on finitely generated groups in order to force the resulting Cayley graphs to have Hamilton circles. We find Hamilton circles by decomposing Cayley graphs into finite cycles, infinite circles and double rays and then joining them together via some intermediate paths.

In Chapter 5 we continue our study of Hamilton circles of Cayley graphs of finitely generated infinite groups in particular, two ended group or context-free group. We focus on finding generating sets for a given group of this type such that the respective Cayley graphs contains Hamilton circles.
In other words, by choosing a large enough generating set of a given such group, we ensure that the Cayley graph of the group with respect to that generating set contains a Hamilton circle. Furthermore, we determine the minimum possible size of such a generating set for a given two-ended group or context-free group.


Chapter 6 deals with the structure of 2-ended graphs and 2-ended groups. We lift some standard characterisation of 2-ended groups to 2-ended quasi-transitive graphs without dominated ends.

In Chapter 7, we study tree-decompositions of locally finite graphs with a certain amount of symmetry.
We find specific tree-decompositions of a given graph which are compatible with the action of a group on the graph.
Also, we find a graph-theoretical version of Stallings' theorem for locally finite quasi-transitive graphs.

In the final chapter, we discuss some applications of Chapter 7.
For example, we show that the graph-theoretical version of Stallings' theorem leads to a new characterisation of accessible graphs.
Furthermore, by using Bass-Serre theory, we classify all infinite groups which admit cubic Cayley graphs of connectivity two in terms of splittings over a subgroup.
Kurzfassung auf Deutsch: Diese Dissertation behandelt unterschiedliche Themen aus der Theorie der unendlichen Graphen und Gruppen. Hierbei werden zahlreiche Techniken und Ideen aus der topologischen unendlichen Graphentheorie und der geometrischen Gruppentheorie angewandt.

In Kapitel 3 erweitern wir die algebraische Flusstheorie endlicher Graphen auf unendliche Graphen mit Enden.
Zentral ist hierbei die Entwicklung einer neuen Kompaktheitsmethode für beliebige (nicht notwendigerweise lokal-end-liche) unendliche Graphen.

In Kapitel 4 stellen wir verschiedene hinreichende Bedingungen f"{u}r die Existenz von Hamiltonkreisen in den Cayleygraphen endlich erzeugter Gruppen auf. Für die Konstruktion dieser Hamiltonkreise zerlegen wir den Cayleygraphen in Doppelstrahlen und endliche und unendliche Kreise und verbinden diese anschließend durch Hilfspfade.

In Kapitel 5 setzen wir das Studium von Hamiltonkreisen in Cayleygraphen endlich erzeugter Gruppen fort, nun allerdings speziell für zweiendige und kontextfreie Gruppen. Wir finden, für jede solche Gruppe ein hinreichend großes Erzeugendensystem, sodass der zugehörige Cayleygraph einen Hamiltonkreis besitzt. Insbesondere beantworten wir die Frage nach der minimalen Größe eines solchen Erzeugendensystems für eine gegebene zweiendige oder kontextfreie linebreak Gruppe.

Kapitel 6 beschäftigt sich mit der Struktur zweiendiger Graphen und Gruppen. Wir beweisen ein Analogon einer bekannten Charakterisierung zweiendiger Gruppen für zweiendige quasi-transitive Graphen ohne dominierte Enden.

Im Kapitel 7 untersuchen wir Baumzerlegungen von lokal-endlichen Graphen mit Symmetrien. Wir finden spezifische Baumzerlegungen eines gegebe-
nen Graphen, welche kompatibel sind mit der Operation einer gegebenen Gruppe auf dem Graphen.

Im letzten Kapitel werden einige Anwendungen des Kapitels 7 erörtert.
Wir zeigen zum Beispiel, dass die graphentheoretische Version des Satzes von Stallings zu einer neuen Charakterisierung erreichbarer Graphen führt.
Dar"uber hinaus klassifizieren wir mithilfe der Bass-Serre-Theorie alle unendlichen Gruppen, die kubische Cayley-Graphen mit Zusammenhang 2 zulassen, in Form von Zerlegungenüber eine Untergruppe.

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