Simulation and Control of Two-Phase Flow Using Diffuse Interface Models

Abstract

Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil befasst sich mit der Simulation von Zwei-Phasen Strömungen mittels diffuse-interface Modellen. Im zweiten Teil wird das bereit gestellte Konzept verwendet um Zwei-Phasen Strömungen zu steuern. Das numerische Konzept wird zunächst an Hand eines gut untersuchten Modells für Zwei-Phasen Strömungen (Modell ’H’ ) mit gleichen Dichten und gleichen Viskositäten dargestellt. Es besteht aus einem gekoppelten System für die Beschreibung der Zwei-Phasen Struktur (Cahn–Hilliard Gleichungen) und den Navier–Stokes Gleichungen für die Fluidstruktur. Eine Zeitdiskretisierung ermöglicht es, die Fluidstruktur in jedem Zeitschritt von der Zwei-Phasen Struktur zu trennen. Die Zwei-Phasen Struktur führt auf eine Variationsungleichung, die mit Moreau–Yosida Relaxierung behandelt wird. Es wird gezeigt, dass die eindeutige Lösung des Systems mittels Newton Verfahrens im Funktionenraum gefunden werden kann, und dass für verschwindene Relaxierung die Lösung der Variationsungleichung gefunden wird. Es wird ein zulässiger und effizienter Fehlerschätzer hergeleitet, mit dem der Diskretisierungsfehler bei der Simulation der Zwei-Phasen Struktur kontrolliert werden kann. Die Zeitdiskretisierung der Fluidstruktur führt auf eine lineare Gleichung. Existenz von Lösungen wird gezeigt und ein zulässiger und effizienter Fehlerschätzer wird dargestellt. Dies führt zu einer Diskretisierung auf anderen räumlichen Gittern als die Diskretisierung der Zwei-Phasen Struktur. Die numerischen Verfahren werden ausgiebig numerisch untersucht. Insbesondere wird auf das Verhalten der Löser bezüglich der Parameter eingegangen und auf die durch das adaptive Konzept entstehenden Gitter. Anschließend werden die dargestellten Konzepte verwendet um ein Modell zu simulieren welches auch zulässt, dass die Flüssigkeiten verschiedene Dichten und Viskositäten aufweisen. Dieser Teil endet mit der Vorstellung einer neuen Zeitdiskretisierung die es erlaubt zeitdiskrete Energieabschätzungen zu erhalten, die auch im volldiskreten Modell erhalten bleiben. Die Steuerung zweiphasiger Fluide wird im zweiten Teil der Arbeit untersucht. Hier wird das Konzept der modellprädiktiven Kontrolle vorgestellt. Wir verwenden eine Variante hiervon, die instantane Kontrolle. Das Konzept basiert auf dem Lösen von Kontrollproblemen über kurze Zeithorizonte. Wir lösen diese Probleme nur approximativ mittels eines Gradientschrittes. Das Konzept wird ausgiebig numerisch untersucht. Hierbei wird sowohl räumlich verteilte Kontrolle als auch diskrete am Rand des Gebiets angebrachte Kontrolle untersucht. Des weiteren werden erste numerische Ergebnisse für die allgemeine modellprädiktiven Kontrolle vorgestellt.

This work consists of two parts. The first part deals with the simulation of two-phase flow using diffuse interface models. In the second part the presented concept is used to control two-phase flow. The numerical concept is presented for a well investigated model for two-phase flow with equal densities and viscosities (model~'H' ) is used. It consists of a coupled system for describing the two-phase structure (Cahn--Hilliard equation) and the Navier--Stokes equation for the fluid structure. A time discretization decouples these two systems on each time instance and allows to treat them separately. The two-phase structure leads to a variational inequality that is treated by Moreau--Yosida relaxation. It is shown that the unique solution of the system can be found by Newton's method in function space and that for vanishing relaxation the solution of the variational inequality is obtained. A reliable and efficient error estimator is proposed that is used to control the discretization error during the simulation of the two-phase structure. The time discretization of the fluid structure yields a linear equation. Existence of a solution is proven and a reliable and efficient error estimator is provided. This yields a discretization of the fluid structure using different meshes for the spatial discretization and for the two-phase structure. The numerical concepts are extensively tested numerically. Especially the behaviour if the solver with respect to parameters is investigated as well as the spatial discretization resulting from the adaptive concept. The presented concepts are therafter used to simulate a model which allows for fluids with different densities and viscosities. This part ends with presenting a new time discretization which allows for time discrete energy estimates that are also conserved in the fully discret setting. The control of two-phase fluids is investigated in the second part of this work. The concept of model predictive control is presented. We use a variant of this, called instantaneous control. The concept is based on solving optimal control problems over short time horizons. We solve these problems approximately by only one gradient step. The concept is extensively investigated numerically. Here both distributed control and Dirchlet boundary control with finitely many controls is investigated. Furthermore, we present first numerical results for the general model predictive control.