Numerische Lösung der stationären Diffusionsgleichung mit Homogenisierungsmethoden

Abstract

Für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodisch oszillierenden Koeffizienten wird im eindimensionalen Fall quadratische L2-Konvergenz einer korrigierten asymptotischen Entwicklung, welche durch die Homogenisierungstheorie motiviert ist, nachgewiesen.

Im zweidimensionalen Fall wird die Konvergenzordnung und ihre Abhängigkeit von der Symmetrie der Koeffizienten numerisch untersucht. Die Korrektur der asymptotischen Entwicklung auf einem lokal verfeinerten Gitter wird anschließend in ein Zweigitterverfahren eingebettet und dieses dann numerisch mit einem klassischen PCG-Verfahren verglichen.

For elliptic partial differential equations with periodically oscillating coefficients quadratic L2-convergence of a corrected asymptotic expansion, which is motivated by the theory of homogenization, is proven in the one-dimensional case.

In the two-dimensional case the rate of convergence and its dependency on the symmetry of the diffusion coefficient is numerically analysed. The correction of the asymptotic expansion on a locally refined grid is then embedded inside a two-grid method and numerically compared with a classical PCG-method.