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Hamburg, Carl von Ossietzky

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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-49262
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2010/4926/


Structure exploiting Galerkin schemes for optimal control of PDEs with constraints on the involved variables

Strukturausnutzende Galerkin-Verfahren für PDE-restringierte Optimalsteuerungsprobleme mit Beschränkungen an die beteiligten Größen

Günther, Andreas

Originalveröffentlichung: (2010) K. Deckelnick, A. Günther, M. Hinze: Finite Element Approximation of Dirichlet Boundary Control for Elliptic PDEs on Two- and Three-Dimensional Curved Domains, SIAM J. Control Optim., 48(4), 2798-2819 (2009); A. Günther, M. Hinze: A Posteriori Error Control of a State Constrained Elliptic Control Problem, J. Numer. Math., 16(4), 307-322 (2008); K. Deckelnick, A. Günther, M. Hinze: Finite Element Approximation of Elliptic Control Problems with Constraints on the Gradient, Numer. Math., 111(3), 335-350 (2009); A. Günther, M. Hinze: Elliptic Control Problems with Gradient Constraints - Variational Discrete versus Piecewise Constant Controls, Comput Optim Appl, DOI: 10.1007/s10589-009-9308-8 (2009)
pdf-Format:
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SWD-Schlagwörter: Optimierung , Elliptische Differentialgleichung , Partielle Differentialgleichung , Finite-Elemente-Methode , Galerkin-Methode , A-priori-Abschätzung
Freie Schlagwörter (Deutsch): Kontrollschranken , Zustandsschranken, Gradientenschranken , zielorientierte Adaptivität
Freie Schlagwörter (Englisch): control constraints , state constraints , gradient constraints , goal-oriented adaptivity
Basisklassifikation: 31.76 , 31.45
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Hinze, Michael (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 30.11.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 14.12.2010
Kurzfassung auf Englisch: This thesis is about structure exploiting Galerkin schemes for optimal
control problems governed by elliptic partial differential equations
under constraints onto the control, the state and its derivative.
Those tailored Galerkin concepts enter on the a priori part by
the permanent application of the variational discretization concept. This minimal invasive finite element discretization technique allows an elegant and funded a priori error analysis. We prove several a priori error estimates for the above mentioned optimal control problems. For control constrained Dirichlet boundary control we even improve these results by superconvergence effects caused by additional assumptions onto the underlying mesh of computation. All estimates are verified by numerous numerical examples and experimental order of convergence measurements. Moreover on the a posteriori part the concept of variational discretization avoids the appearance of additional control error terms in error representations. We exploit the structure of the underlying
optimal control problems by designing goal-oriented error estimators
for control- and state-constrained problems. This builds up an extension
of the DWR-method for unconstrained optimization with PDEs. By only usage of the numerical solution we derive computable error estimators in
order to efficiently resolve the optimal objective value. In a few numerical
experiments we find appropriate adaptive meshes, which by
model reduction help to substantially save degrees of freedom and
hence CPU-time. We further study the efficiency indices of the derived
estimators.
Kurzfassung auf Deutsch: Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung strukturausnutzender
Galerkin Methoden für die Optimierung elliptischer partieller Differentialgleichungen. Die wesentliche Nichtlinearität der Probleme kommt durch Hinzunahme von Schranken an die Kontrolle, den Zustand und dessen Gradienten zum Tragen. Die betonte Struktur-Spezifik äußert sich zum einen durch konsequente Anwendung des variationellen Diskretisierungskonzeptes für die Steuerung. Diese Technik ermöglicht eine elegante und fundierte a priori Fehleranalyse für die diskretisierten Optimierungsprobleme. Zum anderen ermöglicht dieser minimal-invasive Ansatz die Vermeidung von Steuerungsfehlertermen in a posteriori Fehlerschätzern. Mit Hilfe eines solchen Werkzeuges werden ferner
durch adaptive Verfeinerung problemangepasste Finite Elemente-Räume gefunden. Zahlreiche numerische Experimente untermauern einerseits bewiesene a priori Fehlerabschätzungen, andererseits die Robustheit zielorientierter Fehlerschätzer und den durch Modellreduktion resultierenden Performancegewinn.

In Kapitel 2 werden optimale Randsteuerungsprobleme
unter Kontrollschranken auf glatt berandeten 2- und 3-dimensionalen Gebieten behandelt. Erstmalig werden Konvergenzordnungen für allgemeine quasi-uniforme Gitter bewiesen. Für den 2d-Fall kann unter speziellen Gittervoraussetzungen und Anwendung eines Superkonvenz-Lemmas sogar ein verbessertes Resultat gezeigt werden. Diese Ergebnisse werden ferner in zahlreichen numerischen Studien anhand
analytischer Beispiele verifiziert. Auf Seiten der beschränkten, verteilten Steuerung werden nützliche Notationen zur variationellen Diskretisierung eingeführt und deren Vorteilhaftigkeit auch numerisch gezeigt.
Kapitel 3 widmet sich Optimalsteuerungsproblemen mit zusätzlichen Schranken an den Zustand. Nach ausführlicher Diskussion bereits verfügbarer a priori Fehlerabschätzungen liegt der Schwerpunkt im Entwurf und der Analyse von zielorientierten adaptiven Konzepten. Bei den zugrunde liegenden diskretisierten Problemen wird sowohl der unregularisierte Ansatz als auch Moreau-Yosida-Penalisierung verfolgt.
Unter alleiniger Verwendung der numerischen Lösungen werden auswertbare Fehlerschätzer zur zielgenauen Darstellung des Kostenfunktionales entwickelt. Dazu werden numerische Experimente zur Effizienzmessung der Schätzer durchgeführt.
Abschließend werden in Kapitel 4 Schranken an den Gradienten des Zustandes betrachtet. Die Regularitätstheorie erfordert die separate Untersuchung zweier Szenarien. Zum einen werden für ein rein quadratisches Zielfunktional unter Hinzunahme von Kontrollschranken erstmalig Konvergenzaussagen bewiesen. Zum anderen werden diese Abschätzungen durch den verbleibenden Fall einer Lr-Regularisierung der unbeschränkten Kontrolle ergänzt. Experimentelle
Konvergenzraten werden auch hier für beide Szenarien gemessen.

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