Structure exploiting Galerkin schemes for optimal control of PDEs with constraints on the involved variables

Abstract

This thesis is about structure exploiting Galerkin schemes for optimal control problems governed by elliptic partial differential equations under constraints onto the control, the state and its derivative. Those tailored Galerkin concepts enter on the a priori part by the permanent application of the variational discretization concept. This minimal invasive finite element discretization technique allows an elegant and funded a priori error analysis. We prove several a priori error estimates for the above mentioned optimal control problems. For control constrained Dirichlet boundary control we even improve these results by superconvergence effects caused by additional assumptions onto the underlying mesh of computation. All estimates are verified by numerous numerical examples and experimental order of convergence measurements. Moreover on the a posteriori part the concept of variational discretization avoids the appearance of additional control error terms in error representations. We exploit the structure of the underlying optimal control problems by designing goal-oriented error estimators for control- and state-constrained problems. This builds up an extension of the DWR-method for unconstrained optimization with PDEs. By only usage of the numerical solution we derive computable error estimators in order to efficiently resolve the optimal objective value. In a few numerical experiments we find appropriate adaptive meshes, which by model reduction help to substantially save degrees of freedom and hence CPU-time. We further study the efficiency indices of the derived estimators.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung strukturausnutzender Galerkin Methoden für die Optimierung elliptischer partieller Differentialgleichungen. Die wesentliche Nichtlinearität der Probleme kommt durch Hinzunahme von Schranken an die Kontrolle, den Zustand und dessen Gradienten zum Tragen. Die betonte Struktur-Spezifik äußert sich zum einen durch konsequente Anwendung des variationellen Diskretisierungskonzeptes für die Steuerung. Diese Technik ermöglicht eine elegante und fundierte a priori Fehleranalyse für die diskretisierten Optimierungsprobleme. Zum anderen ermöglicht dieser minimal-invasive Ansatz die Vermeidung von Steuerungsfehlertermen in a posteriori Fehlerschätzern. Mit Hilfe eines solchen Werkzeuges werden ferner durch adaptive Verfeinerung problemangepasste Finite Elemente-Räume gefunden. Zahlreiche numerische Experimente untermauern einerseits bewiesene a priori Fehlerabschätzungen, andererseits die Robustheit zielorientierter Fehlerschätzer und den durch Modellreduktion resultierenden Performancegewinn.

In Kapitel 2 werden optimale Randsteuerungsprobleme unter Kontrollschranken auf glatt berandeten 2- und 3-dimensionalen Gebieten behandelt. Erstmalig werden Konvergenzordnungen für allgemeine quasi-uniforme Gitter bewiesen. Für den 2d-Fall kann unter speziellen Gittervoraussetzungen und Anwendung eines Superkonvenz-Lemmas sogar ein verbessertes Resultat gezeigt werden. Diese Ergebnisse werden ferner in zahlreichen numerischen Studien anhand analytischer Beispiele verifiziert. Auf Seiten der beschränkten, verteilten Steuerung werden nützliche Notationen zur variationellen Diskretisierung eingeführt und deren Vorteilhaftigkeit auch numerisch gezeigt. Kapitel 3 widmet sich Optimalsteuerungsproblemen mit zusätzlichen Schranken an den Zustand. Nach ausführlicher Diskussion bereits verfügbarer a priori Fehlerabschätzungen liegt der Schwerpunkt im Entwurf und der Analyse von zielorientierten adaptiven Konzepten. Bei den zugrunde liegenden diskretisierten Problemen wird sowohl der unregularisierte Ansatz als auch Moreau-Yosida-Penalisierung verfolgt. Unter alleiniger Verwendung der numerischen Lösungen werden auswertbare Fehlerschätzer zur zielgenauen Darstellung des Kostenfunktionales entwickelt. Dazu werden numerische Experimente zur Effizienzmessung der Schätzer durchgeführt. Abschließend werden in Kapitel 4 Schranken an den Gradienten des Zustandes betrachtet. Die Regularitätstheorie erfordert die separate Untersuchung zweier Szenarien. Zum einen werden für ein rein quadratisches Zielfunktional unter Hinzunahme von Kontrollschranken erstmalig Konvergenzaussagen bewiesen. Zum anderen werden diese Abschätzungen durch den verbleibenden Fall einer Lr-Regularisierung der unbeschränkten Kontrolle ergänzt. Experimentelle Konvergenzraten werden auch hier für beide Szenarien gemessen.