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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-75422
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2015/7542/


The hyper-Kähler/quaternionic Kähler correspondence and the geometry of the c-map

Die HK/QK-Korrespondenz und die Geometrie der c-Abbildung

Dyckmanns, Malte

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Freie Schlagwörter (Deutsch): Quaternionisch Kähler , Supergravitation , c-Abbildung , HK/QK-Korrespondenz , Ein-Schleifen-Deformation , Ferrara-Sabharwal-Metrik
Freie Schlagwörter (Englisch): quaternionic Kähler , supergravity , c-map , special geometry , completeness , one-loop deformation , Ferrara-Sabharwal metric , HK/QK correspondence
Basisklassifikation: 31.52
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Cortés Suárez, Vicente (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 15.09.2015
Erstellungsjahr: 2015
Publikationsdatum: 18.09.2015
Kurzfassung auf Englisch: This thesis deals with quaternionic pseudo-Kähler manifolds obtained from Haydys' HK/QK correspondence with particular emphasis on complete quaternionic Kähler manifolds of negative scalar curvature that appear in certain string theory constructions.

The starting point for the HK/QK correspondence is a pseudo-hyper-Kähler manifold endowed with a real-valued function fulfilling certain assumptions. In particular, the function is the Hamiltonian for a Killing vector field, which preserves one of the three complex structures while rotating the other two.
The HK/QK correspondence then constructs a quaternionic pseudo-Kähler manifold of the same dimension, which is endowed with a Killing vector field. A shift of the Hamiltonian function by an additive constant leads to a one-parameter family of deformations of the resulting quaternionic pseudo-Kähler metric.

We give a new and self-contained proof that the manifolds obtained from the HK/QK correspondence are quaternionic pseudo-Kähler. We reprove the known relation between the HK/QK correspondence, conical pseudo-hyper-Kähler manifolds and the hyper-Kähler quotient construction. As a new result, we prove the compatibility of the HK/QK correspondence with the hyper-Kähler and quaternionic Kähler quotient constructions.
As an example, we show that a one-parameter family of quaternionic Kähler manifolds obtained from the cotangent bundle of complex projective space via the HK/QK correspondence is locally isometric to quaternionic projective space for one choice of parameter and locally isometric to another Wolf space for a different choice of parameter.

We show that all manifolds in the image of the supergravity c-map can be obtained via the HK/QK correspondence from a manifold in the image of the rigid c-map. We also show that the shift of the Hamiltonian function in this class of examples leads to the one-loop deformed supergravity c-map. We show that in each family of quaternionic Kähler manifolds obtained from the one-loop deformed supergravity c-map, all manifolds with positive deformation parameter are pairwise isometric.

We show that for a large class of examples, the quaternionic Kähler manifolds obtained from the one-loop deformed supergravity c-map with positive deformation parameter are complete if the undeformed metric is complete. This in particular gives explicit deformations by complete quaternionic Kähler metrics of all Wolf spaces of non-compact type (except for quaternionic hyperbolic space) and of all non-symmetric Alekseevsky spaces.

We give an explicit realization of Salamon's E-H formalism and use this to calculate the quartic symmetric tensor field determining the Riemann curvature tensor of a quaternionic Kähler manifold for all manifolds in the image of the q-map.
We use this to show that the members of an explicit series of complete quaternionic Kähler manifolds that we construct from the q-map are not locally homogeneous.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Haydys' HK/QK-Korrespondenz mit besonderem Augenmerk auf vollständige quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeiten, die aus bestimmten Konstruktionen in der Stringtheorie stammen.

Den Ausgangspunkt der HK/QK-Korrespondenz bildet eine Pseudo-Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeit, die mit einer reell-wertigen Funktion versehen ist, welche bestimmte Voraussetzungen erfüllt. Insbesondere ist die Funktion hamiltonsch bezüglich eines Killing-Vektorfeldes, welches eine der drei komplexen Strukturen erhält und die anderen beiden rotiert. Die HK/QK-Korrespondenz konstruiert dann eine quaternionische Pseudo-Kähler-Mannigfaltigkeit der selben Dimension, versehen mit einem Killing-Vektorfeld. Das Verschieben der Hamilton-Funktion um eine additive Konstante führt zu einer Ein-Parameter-Familie von Deformationen der resultierenden quaternionischen Pseudo-Kähler-Metrik.

Wir präsentieren einen neuen, eigenständigen Beweis für die Tatsache dass die durch die HK/QK-Korrespondenz konstruierten Mannigfaltigkeiten quaternionisch pseudo-Kählersch sind. Wir weisen erneut den bekannten Zusammenhang zwischen der HK/QK-Korrespondenz, konischen Pseudo-Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeiten und der Hyper-Kähler-Quotienten-Konstruktion nach. Als ein neues Resultat zeigen wir dass die HK/QK-Korrespondenz mit den Hyper-Kähler- und Quaternionisch-Kähler-Quotienten-Konstruktionen verträglich ist. Als Beispiel zeigen wir, dass eine per HK/QK-Korrespondenz vom Kotangentialraum des komplex projektiven Raumes erhaltene Ein-Parameter-Famile von quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten für eine bestimmte Wahl des Parameters lokal isometrisch zum quaternionisch projektiven Raum und für eine andere Wahl des Parameters lokal isometrisch zu einem weiteren Wolf-Raum ist.

Wir zeigen, dass alle Mannigfaltigkeiten im Bild der Supergravitations-c-Abbildung per HK/QK-Korrespondenz aus Mannigfaltigkeiten im Bild der rigiden c-Abbildung konstruiert werden können. Desweiteren zeigen wir, dass das Verschieben der Hamilton-Funktion für diese Klasse von Beispielen zu der Ein-Schleifendeformation der Supergravitations-c-Abbildung führt. Wir zeigen dass in jeder durch die Ein-Schleifendeformation der Supergravitations-c-Abbildung erhaltenen Familie von quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten alle Mannigfaltigkeiten mit positivem Deformationsparameter paarweise isometrisch sind.

Für eine große Klasse von Beispielen zeigen wir, dass die durch die Ein-Schleifendeformation der Supergravitations-c-Abbildung mit positivem Deformationsparameter erhaltenen quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten vollständig sind, wenn die undeformierte Metrik vollständig ist. Dadurch erhalten wir insbesondere für alle Wolf-Räume vom nicht-kompakten Typ (bis auf den quaternionisch hyperbolischen Raum) und alle nicht-symmetrischen Alekseevsky-Räume explizite Deformationen durch vollständige quaternionische Kähler-Metriken.

Wir geben eine explizite Realisierung von Salamon's E-H-Formalismus und benutzen diese um das, den Riemann-Tensor einer jeden quaternionischen Kähler Mannigfaltigkeit bestimmende, symmetrische quartische Tensorfeld
für alle Mannigfaltigkeiten im Bild der q-Abbildung zu bestimmen. Dies verwenden wir um zu zeigen, dass alle Mitglieder einer aus der q-Abbildung konstruierten Serie von vollständigen quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten nicht lokal homogen sind.

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