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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-86383
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2017/8638/


The affine special Kähler/projective special Kähler correspondence and related constructions

Die affin speziell Kähler/projektiv speziell Kähler Korrespondenz und verwandte Konstruktionen

Dieterich, Peter-Simon

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SWD-Schlagwörter: Differentialgeometrie , Stringtheorie
Freie Schlagwörter (Deutsch): speziell Kähler , Supergravitation , r-Abbildung , spezielle Geometrie , K/K Korrespondenz , integrable Systeme
Freie Schlagwörter (Englisch): special Kähler , supergravity , r-map , special geometry , K/K correspondence , integrable systems
Basisklassifikation: 31.52
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Cortés Suárez, Vicente (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 20.07.2017
Erstellungsjahr: 2017
Publikationsdatum: 28.07.2017
Kurzfassung auf Englisch: In this thesis we study various geometric correspondences that are motivated by constructions in string theory.

The first part of this thesis considers the Kähler/Kähler correspondence and its curvature properties. We show that the Kähler/Kähler correspondence can be recovered from the more general twist construction, which is due to A. Swann. We present results on the behavior of the Ricci curvature under this correspondence using a formula by A. Futaki.

In the second part we formulate a correspondence between affine and projective special Kähler manifolds of the same dimension. We show as an application that under this correspondence the affine special Kähler manifolds in the image of the rigid r-map are mapped to one-parameter deformations of projective special Kähler manifolds in the image of the supergravity r-map.
The above one-parameter deformations are interpreted as perturbative α'-corrections in heterotic and type-II string compactifications with N=2 supersymmetry.
Moreover, we prove that the completeness of the deformed supergravity r-map metric depends only on the already well-understood completeness of the undeformed metric and the sign of the deformation parameter.
We remark on the striking similarity of this situation to the HK/QK correspondence and its application to the c-map.

In the last chapter we provide a detailed review of algebraic completely integrable systems and prove a theorem of D.~Freed stating that the base of such an integrable system is affine special Kähler. We formulate our statement of this result slightly more precisely than it appeared in its original paper. Finally, we show that the semi-flat metric appearing in a certain integrable system is in fact equivalent to the natural hyper-Kähler structure on the cotangent bundle of the associated special Kähler manifold.
Kurzfassung auf Deutsch: In dieser Dissertation studieren wir verschiedene geometrische Korrespondenzen die ihren Ursprung in aus der String Theorie stammenden Konstruktionen haben.

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir die Kähler/Kähler Korrespondenz und ihre Krümmungseigenschaften. Wir zeigen, dass die Kähler/Kähler Korrespondenz als Spezialfall der allgemeineren Twist Konstruktion von A. Swann auftritt. Außerdem stellen wir Resultate über Verhalten der Ricci Krümmung unter dieser Korrespondenz vor.

Im zweiten Teil formulieren wir eine Korrespondenz zwischen affin und projektiv speziellen Kählermannigfaltigkeiten der selben Dimension.
Wir zeigen, dass unter dieser Korrespondenz die affin speziellen Kählermannigfaltigkeiten im Bild der rigiden r-Abbildung auf eine Einparameterfamilie von projektiv speziellen Kählermannigfaltigkeiten im Bild der lokalen r-Abbildung abgebildet werden. Die obigen Einparameterdeformationen werden als perturbative α'-Korrekturen in heterotischen und Typ-II String Kompaktifizierungen mit N=2 Supersymmetrie interpretiert.
Außerdem zeigen wir, dass die Vollständigkeit der deformierten lokalen r-Abbildungsmetrik nur von der bereits gut untersuchten Vollständigkeit der undeformierten Metrik und dem Vorzeichen des Deformationsparameters abhängt. Wir betonen die starke Ähnlichkeit dieser Situation zum Fall der HK/QK Korrespondenz und dessen Anwendung auf die c-Abbildung.

Im letzen Teil geben wir einen detaillierten Überblick über algebraisch vollständig integrable Systeme und beweisen ein Theorem von D.~Freed, das besagt, dass die Basis eines solchen integrablen Systems affin speziell Kähler ist. Wir formulieren unsere Behauptung ein wenig präziser als im Originalpaper von Freed. Abschließend zeigen wir, dass die halbflache Metrik die in einem bestimmten integrablen System auftaucht tatsächlich äquivalent zur natürlichen hyper-Kählerstruktur des Kotangentialbündels der zugehörigen affin speziellen Kählermannigfaltigkeit ist.

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