Error Estimates and Convergence Rates for Filtered Back Projection Reconstructions

Abstract

Die Methode der gefilterten Rückwärtsprojektion (filtered back projection), kurz FBP-Methode, stellt eine weit verbreitete Rekonstruktionstechnik in der Computertomographie dar, bei der eine unbekannte bivariate Funktion durch Kenntnis ihrer Radon-Daten wiederhergestellt wird. Die Rekonstruktion basiert auf der klassischen FBP-Formel, die eine analytische Inversion der Radon-Transformation aus vollständigen Radon-Daten liefert. Allerdings ist die FBP-Formel sensitiv gegenüber Störungen in den Radon-Daten und somit numerisch instabil. Ein Standardansatz zur Stabilisierung ist die Verwendung eines Tiefpass-Filters von beschränkter Bandbreite und mit einer Fenster-Funktion mit kompaktem Träger. Dies reduziert die Störungssensibilität der Rekonstruktionsformel, liefert jedoch nur eine inexakte Approximation der Zielfunktion.

Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Analyse des inhärenten FBP-Rekonstruktionsfehlers, der durch die Einführung des Tiefpass-Filters hervorgerufen wird. Zu diesem Zweck entwickeln wir Fehlerabschätzungen in Sobolev-Räumen mit gebrochener Ordnung und stellen quantitative Kriterien bereit, mit denen die Leistungsfähigkeit des verwendeten Tiefpass-Filters anhand der zugehörigen Fenster-Funktion a priori evaluiert werden kann. Die gewonnenen Fehlerschranken hängen ab von der Bandbreite des Tiefpass-Filters, der Flachheit der zugehörigen Fenster-Funktion im Ursprung, der Glattheit der Zielfunktion und der Ordnung der verwendeten Sobolev-Norm, in der der Rekonstruktionsfehler gemessen wird.

Des Weiteren beweisen wir Konvergenz der approximativen FBP-Rekonstruktion gegen die Zielfunktion in den betrachteten Sobolev-Normen, wenn die Bandbreite des Tiefpass-Filters gegen Unendlich strebt. Dabei ermitteln wir asymptotische Konvergenzraten in der Bandbreite und beobachten insbesondere Saturation der Konvergenzordnung bei fraktionalen Raten in Abhängigkeit von Glattheitseigenschaften der zum Filter gehörigen Fenster-Funktion.

Schließlich entwickeln wir Konvergenzraten auch für den Fall von Störungen in den Radon-Daten, wenn das Störungslevel gegen Null strebt. Dazu beweisen wir Fehlerabschätzungen für den Datenfehler und kombinieren diese mit unseren Resultaten für den Approximationsfehler. Weiterhin wird die Bandbreite des Tiefpass-Filters an das Störungslevel der Radon-Daten gekoppelt, um die gewünschte Konvergenz des Rekonstruktionsfehlers zu erzielen.

Die theoretischen Resultate werden gestützt durch numerische Experimente.

The method of filtered back projection (FBP) is a commonly used reconstruction technique in computerized tomography, which allows us to recover an unknown bivariate function from the knowledge of its Radon data. The reconstruction is based on the classical FBP formula, which yields an analytical inversion of the Radon transform provided that the complete Radon data is available. The FBP formula, however, is highly sensitive with respect to noise and, hence, numerically unstable. To overcome this problem, suitable low-pass filters of finite bandwidth and with compactly supported window functions are employed. This reduces the noise sensitivity, but only leads to an inexact approximation of the target function.

The main objective of this thesis is to analyse the inherent FBP reconstruction error which is incurred by the application of the low-pass filter. To this end, we present error estimates in Sobolev spaces of fractional order and provide quantitative criteria to a priori evaluate the performance of the utilized low-pass filter by means of its window function. The obtained error bounds depend on the bandwidth of the low-pass filter, on the flatness of the filter's window function at the origin, on the smoothness of the target function, and on the order of the considered Sobolev norm in which the reconstruction error is measured.

Further, we prove convergence for the approximate FBP reconstruction in the treated Sobolev norms along with asymptotic convergence rates as the filter's bandwidth goes to infinity, where we in particular observe saturation at fractional order depending on smoothness properties of the filter's window function.

Finally, we develop convergence rates for noisy data as the noise level goes to zero, where we prove estimates for the data error and combine these with our results for the approximation error. Furthermore, the filter's bandwidth is coupled with the noise level to achieve the convergence.

The theoretical results are supported by numerical experiments.