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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-92229
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2018/9222/


Structure of the class of projective special real manifolds and their generalisations

Struktur der Klasse projektiv speziell reeller Mannigfaltigkeiten und deren Verallgemeinerungen

Lindemann, David

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SWD-Schlagwörter: Differentialgeometrie
Freie Schlagwörter (Deutsch): Spezielle Geometrie , speziell Kähler , Supergravitation , zentroaffine Geometrie , Riemannsche Geometrie
Freie Schlagwörter (Englisch): special geometry , special Kähler , supergravity , centro-affine geometry , Riemannian geometry
Basisklassifikation: 31.52
Institut: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Cortés, Vicente (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 16.05.2018
Erstellungsjahr: 2018
Publikationsdatum: 30.07.2018
Kurzfassung auf Englisch: In this thesis we study properties of projective special real manifolds and their generalisations. These types of manifolds are centro-affine hypersurfaces with positiv definite centro-affine fundamental form.

In the introduction we give an overview of important known results in the fields of affine geometry and we describe the main results of this thesis.

In the preliminaries, that is Section 2, we explain the notation used in this work and give a short overview of pseudo-Riemannian and centro-affine geometry. We will then introduce hyperbolic centro-affine hypersurfaces of which projective special real manifolds are a special case and review some known results about them which we will use later.

In Section 3 we will develop the mathematical machinery that is needed for our study of (generalised) projective special real manifolds. We will in particular find a "standard form" for homogeneous polynomials corresponding to such manifolds and use this result to find formulas for their different curvature tensors.

In Section 4 we restrict our studies to projective special real manifolds. We are concerned with the scalar and sectional curvature and will determine upper and lower bounds for them that hold for all closed projective special real manifold of fixed dimension. It turns out that the technicalities that are needed for these results can also be used to find an alternative proof that a projective special real manifold equipped with its centro-affine fundamental form is geodesically complete if and only if said manifold is closed.

In the next section, that is Section 5, we are again concerned with projective special real manifolds and develop a deformation theory of closed connected projective special real manifolds. The results characterise the moduli space of n-dimensional closed connected projective special real manifolds under the action of GL(n+1) for all natural numbers n and allow us to find sharp lower and upper bounds for the scalar curvature of closed projective special real surfaces. In order to obtain these results we study regularity of closed projective special real manifolds. Altogether, this allows us to find a second alternative proof of the statement that closed projective special real manifolds are complete.

In Section 6 we will study two examples of (n-2)-parameter families of pairwise inequivalent n-dimensional closed connected projective special real manifolds for each n greater or equal 3. Pairwise inequivalent means that two distinct elements of one of these families are not related by a linear transformation of the ambient space.

Next, in Section 7 we will switch our focus from projective special real manifolds to quartic generalised projective special real manifolds. We will give a classification of quartic closed connected generalised projective special real curves and we will find analogues to some results from Section 4 to quartic generalised projective special real manifolds. We will also discuss explicit examples of closed connected generalised projective special real manifolds.

In Section 8 we will be concerned with manifolds in the image of the (generalised) supergravity r-map. We will derive a formula for their scalar curvature using our technical tools from Section 3 and find that it has some properties analogous to the properties of the scalar curvature of closed connected projective special real manifolds that we have studied in Section 4. As examples, we will study r-map images of the elements in the two multi-parameter families of closed connected projective special real manifolds that were studied in Section 6 and we will in particular show that all manifolds that are obtained in this way are inhomogeneous.

We will conclude this thesis with an outlook in Section 9. We will discuss the still open question if every quartic closed generalised projective special real manifold is automatically geodesically complete, and we will also present ideas for a possible proof that have neither been fully tried nor excluded by our research yet.
Kurzfassung auf Deutsch: In der vorliegenden Dissertation studieren wir Eigenschaften projektiv speziell reeller Mannigfaltigkeiten und deren Verallgemeinerungen. Diese Arten von Mannigfaltigkeiten sind zentroaffine Mannigfaltigkeiten mit positiv definiter zentroaffiner Fundamentalform.

In der Einleitung geben wir einen Überblick über wichtige Ergebnisse in der affinen Differentialgeometrie. Außerdem beschreiben wir die Resultate dieser Dissertation.

In Kapitel 2 führen wir die Notation ein, die in dieser Arbeit genutzt wird und geben eine kurze Einführung in die zentroaffine und Riemannsche Geometrie. Anschließend führen wir hyperbolische zentroaffine Hyperflächen ein, wobei projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten ein Spezialfall davon sind und wir diskutieren einige wichtige bekannte Resultate über projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten, welche wir später nutzen.

In Kapitel 3 entwickeln wir die notwendige Maschinerie für unsere Forschung an (verallgemeinerten) projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten. Insbesondere finden wir eine "Standardform" für homogene Polynome, die zu solchen Mannigfaltigkeiten assoziiert sind. Außerdem finden wir Formeln für die verschiedenen Krümmungstensoren bezüglich der zentroaffinen Metrik.

In Kapitel 4 beschränken wir uns auf projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten. Wir arbeiten an der Skalar- und Schnittkrümmung und finden für sie untere und obere Schranken, welche nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit abhängen. Außerdem liefern die technischen Resultate aus diesem Kapitel einen alternativen Beweis der geodätischen Vollständigkeit von abgeschlossenen projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten.

In Kapitel 5 entwickeln wir eine Deformationstheorie für projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten. Die Ergebnisse charakterisieren den Modulraum von n-dimensionalen abgeschlossenen zusammenhängenden projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten unter der Wirkung von GL(n+1) für alle natürlichen Zahlen n und erlauben uns scharfe untere und obere Schranken für die Skalarkrümmung von abgeschlossenen projektiv speziell reellen Flächen zu finden. Dafür studieren wir auch die Regularität von abgeschlossen projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten. Außerdem liefern uns die Ergebnisse aus diesem Kapitel einen weiteren neuen Beweis für die geodätische Vollständigkeit von abgeschlossenen projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten.

In Kapitel 6 studieren wir zwei Beispiele von (n-2)-Parameterfamilien von paarweise inäquivalenten n-dimensionalen abgeschlossenen zusammenhängenden projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten für jedes n größer gleich 3. Paarweise inäquivalent heißt, dass keine zwei verschiedenen Elemente dieser Familien per linearer Transformation des umgebenden Raumen ineinander übergeführt werden können.

In Kapitel 7 ändern wir unseren Fokus von projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten auf quartische verallgemeinerte projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten. Wir finden eine Klassifikation von quartischen verallgemeinerten projektiv speziell reellen Kurven und einige analoge Resultate zu Kapitel 4 für quartische verallgemeinerte projektiv speziell reelle Mannigfaltigkeiten. Außerdem beschreiben wir explizite Beispiele von verallgemeinerten projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten.

In Kapitel 8 beschäftigen wir uns mit Mannigfaltigkeiten im Bild der (verallgemeinerten) Supergravitations r-Abbildung. Wir finden eine Formel für die Skalarkrümmung mit Hilfe unserer Ergebnisse aus Kapitel 3 und beschreiben analoge Ergebnisse zu Kapitel 4. Als Beispiele studieren wir Bilder der r-Abbildung von Elementen in den Multiparameterfamilien von abgeschlossenen projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten aus Kapitel 6. Insbesondere zeigen wir, dass diese so erhaltenen Mannigfaltigkeiten inhomogen sind.

Im letzten Kapitel, Kapitel 9, diskutieren wir einige offene Fragen, die sich während der Arbeit an der Dissertation aufgetan haben oder die zu unseren behandelten Themen gehören. Wir diskutieren unter anderem das offene Problem der geodätischen Vollständigkeit von quartischen verallgemeinerten projektiv speziell reellen Mannigfaltigkeiten und beschreiben einige interessante Ideen für einen möglichen Beweis.

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