Subdivision based Finite Elements for Lipid Membranes

Abstract

In this thesis we study numerical methods for simulating mechanical deformations of cell membranes. Such models are given in terms of fourth order partial differential equations. In order to enable comparisons of the models predictions to experimental results, the equations must be solved on arbitrary cell geometries. A Finite Element Method based on subdivision surfa ces, which is capable of discretizing the partial differential equations, is implemented in a C++ computer program.

An integral part of cell membranes models are constraints, enforcing the conservation of the cells surface, volume and integrated mean curvature. The discretized equations can not exactly fulfill these constraints. Instead one introduces harmonic potentials of the quantities to be conserved. This allows for an approximate conservation. Several Rosenbrock methods for the solution of the resulting stiff ordinary differential equations are tested. Virtual experiments in which cells are aspirated into micropipettes are carried out as a benchmark for the performance of the simulation.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden zur Simulation von mechanischen Deformationen von Zellmembranen. Solche Modelle werden durch Systeme von partiellen Differentialgleichungen vierter Ordnung beschrieben. Um die Vorhersagen solcher Modelle mit biologischen Experimenten vergleichen zu können ist es notwendig, die beschreibenden Differentialgleichungen für beliebige Zellgeometrien lösen zu können. Eine Finite Elemente Methode, die auf Subdivision Surfaces beruht und in der Lage ist, die partiellen Differentialgleichungen zu diskretisieren, wurde in einem C++ Computer Programm implementiert.

Ein wesentlicher Bestandteil von Modellen von Zellmembranen sind Zwangsbedingungen, welche die Erhaltung der Zelloberfläche, des Zellvolumens und der integrierten mittleren Krümmung der Zelloberfläche erzwingen. Die diskretisierten Gleichungen können die Zwangsbedingungen nicht exakt erfüllen. Statt dessen werden harmonische Potentiale von den zu erhaltenden Grössen eingeführt, die eine näherungsweise Erhaltung erlauben. Verschiedene Rosenbrock Methoden zur Lösung der resultierenden steifen gewöhnlichen Differentialgleichungen werden getestet. Als Test für die Leistungsfähigkeit der Simulation werden virtuelle Experimente ausgeführt, in denen eine Zelle in eine Mikropipette aspiriert wird.