Higher Categorical Structures in Geometry - General Theory and Applications to Quantum Field Theory

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir mathematische Strukturen die in der Quantenfeldtheorie eine Rolle spielen. Insbesondere konzentrieren wir uns dabei auf die Beschreibung von Hintergrundsdaten für Sigma-Modelle und die Beschreibung von gewissen topologischen Feldtheorien. In der formalen Beschreibung und Klassifikation der zugehörigen geometrischen Objekte spielen höhere Kategorien, insbesondere Bikategorien, eine wichtige Rolle.

Der zentrale Beitrag des ersten Kapitels ist die Abstiegsperspektive' auf die Definition von Bündelgerben und Jandl-Strukturen. Dies ist die Basis für die Theorie von 2-Stacks, die wir in Kapitel 2 entwickeln. Insbesondere erweitern wir 2-Stacks, die auf der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten definiert sind, zu 2-Stacks auf der Kategorie der Lie-Gruppoide. Ein fundamentales technische Resultat ist nun, dass diese Fortsetzung eines Stacks invariant unter Morita-Äquivalenz von Lie Gruppoiden ist. Unter Verwendung dieses Resultats können wir eine allgemeine Stackifizierungs-Vorschrift' für beliebige 2-Prästacks angeben und Bündelgerben sowie Jandl-Gerben als Spezialfälle dieser allgemeinen Konstruktion identifizieren.

In Kapitel 3 entwickeln wir einen präzisen formalen Rahmen für vier verschiedene Versionen von nicht-abelschen Gerben. Dabei handelt es sich um die in der Literatur verschiedentlich untersuchten \v{C}ech-Kozykel, klassifizierenden Abbildungen, nicht-abelschen Bündelgerben und prinzipalen 2-Bündel. Zusätzlich zu einer konsistenten und vollständigen Definition behandeln wir Strukturaussagen und Vergleichsresultate, die zeigen, dass die vier Versionen äquivalent sind.

In Kapitel 4 geben wir eine neue, konkrete Konstruktion der String-Gruppe an. Diese Gruppe spielt unter Anderem eine Rolle in supersymmetrischen Sigma-Modellen zur Anomalie-Kürzung. Genauer konstruieren wir zunächst ein unendlich-dimensionales glattes Modell für die String-Gruppe. Dieses Modell erweitern wir dann zu einer 2-Gruppe. Die so konstruierte 2-Gruppe kann als Strukturgruppe für die allgemeine Bündeltheorie, die wir in Kapitel 3 entwickelt haben, dienen.

Im letzten Kapitel behandeln wir schließlich eine äquivariante Verallgemeinerung der sogenannten erweiterten Dijkgraaf-Witten Theorie, einer dreidimensionalen topo\-logischen Feldtheorie. Unsere Erweiterung basiert auf der Wahl einer endlichen Gruppe J, die auf einer anderen endlichen Gruppe G wirkt. Wir verwenden geometrischen Methoden zur Konstruktion des vollen TFT 2-Funktors. Aus diesem können wir anschließend die Daten einer äquivarianten modularen Tensorkategorie gewinnen und die Theorie algebraisch, mittels einer Hopf-Algebra, verstehen.