Hierarchische Matrizen bei Finite-Differenzen-Verfahren

Abstract

Die Technik der Hierarchischen Matrizen (H-Matrizen) ermöglicht die Berechnung einer approximativen H-Inversen oder H-LU-Zerlegung in fast linearer Komplexität und kann auf diese Weise zur effizienten Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden. Vor der Verwendung der H-Matrix-Technik ist zu untersuchen, ob eine H-Matrix Approximation der Inversen bzw. der Faktoren der LU-Zerlegung existiert. Resultate dieser Form konnten bereits für diverse Matrizen (z.B. für Finite-Element-Matrizen) gezeigt werden. Für Gleichungssysteme, die aus der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen mittels Finiter-Differenzen-Verfahren resultieren, sind jedoch keine Veröffentlichungen zum Einsatz der H-Matrix-Technik bekannt. Mit der Zielsetzung die Anwendbarkeit der H-Matrix-Technik für Finite-Differenzen-Matrizen aus dem meteorologischen Transport- und Strömungsmodell METRAS zu untersuchen, wird für ein zwei- und ein dreidimensionales Modellproblem die Existenz einer H-Matrix Approximation der Inversen von Finite-Differenzen-Matrizen nachgewiesen.

Dazu wird der methodische Ansatz für Finite-Element-Matrizen auf den Fall von Finite-Differenzen-Matrizen übertragen. Zu diesem Zweck ist die Gültigkeit einer diskreten Poincaré- und einer diskreten Cacciopoli-Ungleichung für Gitterfunktionen nachzuweisen, welche in der erforderlichen Form bisher nicht bekannt waren. Diese werden für den Fall von Rechteck- bzw. Quadergittern bewiesen und können unabhängig von dieser Arbeit auch in anderen Zusammenhängen verwendet werden.

Die Ergebnisse zur Existenz einer H-Matrix Approximation der Inversen von Finite-Differenzen-Matrizen werden mittels numerischer Tests bestätigt. Bei in Anlehnung an das Gleichungssystem aus dem Modell METRAS aufgestellten Testproblemen lässt sich im Einklang mit den theoretischen Ergebnissen jedoch eine Verschlechterung des Fehlerverlaufs in Abhängigkeit von einem Parameter feststellen. Für diese Fälle wird eine modifizierte Partitionierungsstrategie vorgestellt, deren Verwendung zu deutlich besseren Ergebnissen führt.