Combinatorial constructions in Smooth Ergodic Theory

Abstract

In this thesis we present a multitude of new constructions of diffeomorphisms with various specific ergodic, topological and spectral properties. These constructions are based on the "Conjugation by approximation''-method developed by D.V. Anosov and A. Katok. In fact, on every smooth compact connected manifold of dimension at least 2 admitting a non-trivial circle action preserving a smooth volume this method enables the construction of smooth diffeomorphisms with particular ergodic properties or non-standard smooth realizations of measure preserving systems. Moreover, it allows to deduce results on the genericity of designed properties.

One main issue is the construction of weak mixing diffeomorphisms preserving a measurable Riemannian metric in the restricted space for a given Liouvillean number. In the case of the m-dimensional torus we examine the existence of such diffeomorphisms with a prescribed number of ergodic invariant measures, in particular uniquely ergodic ones. Likewise, we construct weak mixing diffeomorphisms preserving a measurable Riemannian metric on the two-dimensional disc as well as the annulus with the minimal number of three ergodic invariant measures. All these aforementioned constructions are supplemented by structure theorems concerning the denseness or genericity of the particular set of constructed diffeomorphisms. Furthermore, we answer a question of B. Fayad and A. Katok about the existence of smooth diffeomorphisms admitting a special type of periodic approximation (namely a good approximation of type (h,h+1)) and possessing specific spectral properties affirmatively. These mentioned spectral properties are a homogeneous spectrum of multiplicity 2 for the Cartesian square and a maximal spectral type disjoint with its convolutions. In addition, we start to examine the problem of uniformly rigid and simultaneously weak mixing maps, which is a current research topic in measurable as well as topological dynamics, in the smooth and beyond that even in the real-analytic category: Under sufficient conditions on the growth rate of the rigidity sequence we are able to construct uniformly rigid and weak mixing real-analytic as well as smooth diffeomorphisms on the two-dimensional torus.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Vielzahl an Konstruktionen von Diffeomorphismen mit verschiedenen ergodischen, topologischen sowie spektraltheoretischen Eigenschaften durchgeführt. Eine zentrale Rolle hierbei spielt die "Konstruktion durch Konjugation''-Methode von D.V. Anosov und A. Katok, die sich auf beliebige glatte, kompakte und zusammenhängende Mannigfaltigkeiten von Dimension mindestens 2 mit nichttrivialer Kreisoperation, die ein glattes invariantes Volumen besitzt, anwenden lässt. Dabei erzeugt man durch geschickte Wahl von Parametern sukzessive eine Folge von Konjugationsabbildungen so, dass die Konjugation eines betrachteten Diffeomorphismus, der zur Kreisoperation gehört, gegen eine Abbildung mit angestrebten Merkmalen konvergiert. Mit ihrer Hilfe lassen sich zum Beispiel Diffeomorphismen mit verschiedenen ergodischen Eigenschaften, deren Existenz zuvor unbekannt war, und glatte Versionen von maßerhaltenden Abbildungen konstruieren. Des Weiteren ist man in der Lage, Aussagen über die Generizität von konstruierten Eigenschaften zu treffen.

Ein besonderes Augenmerk dieser Dissertation liegt auf der Konstruktion von schwach mischenden Diffeomorphismen, die eine invariante messbare Riemannsche Metrik zulassen, im restringierten Raum für vorgegebene Liouvillezahl. Zudem wird im Falle des m-dimensionalen Torus die Existenz von solchen Diffeomorphismen mit vorgegebener Anzahl an ergodischen invarianten Maßen, insbesondere von eindeutig ergodischen Abbildungen, untersucht. Ebenso werden auf der Kreisscheibe und dem Annulus schwach mischende Diffeomorphismen mit invarianter messbarer Riemannscher Metrik und der in diesen Fällen minimalen Anzahl von drei ergodischen invarianten Maßen konstruiert. An die Konstruktionen schließen jeweils Strukturaussagen an, die im Sinne des Baireschen Satzes die jeweilige Menge der konstruierten Diffeomorphismen charakterisieren. Des Weiteren wird die von B. Fayad und A. Katok formulierte Frage nach der Existenz von Diffeomorphismen, die eine besondere Art von periodischer Approximation (nämlich vom Typ (h,h+1)) zulassen sowie spezielle spektraltheoretische Eigenschaften (ein homogenes Spektrum der Multiplizität 2 für das kartesische Produkt sowie ein maximaler Spektraltyp disjunkt zu seinen Faltungen) besitzen, positiv beantwortet. In dieser Arbeit wird zudem die Untersuchung von gleichmäßig rigiden und gleichzeitig schwach mischenden Abbildungen, die ein aktuelles Forschungsthema sowohl der maßtheoretischen als auch der topologischen Dynamik darstellen, im Gebiet der glatten Dynamik begonnen. So wird unter hinreichenden Wachstumsbedingungen an die Rigiditätsfolge die Existenz von schwach mischenden und bezüglich der vorgegebenen Folge gleichmäßig rigiden reell-analytischen sowie glatten Diffeomorphismen auf dem 2-dimensionalen Torus gezeigt.