Mellin-Barnes representations for multiloop Feynman integrals with applications to 2-loop electroweak Z boson studies

Abstract

The calculation of radiative corrections beyond one loop level within the Standard Model of gauge interactions is necessary for precision phenomenological studies. Namely, the knowledge of higher order effects in physical observables constitutes the solid ground in search for potential and elusive non-standard Elementary Particle Physics. It also helps in deeper understanding of the Standard Model itself, and Quantum Field Theory in general.

The thesis is devoted to the development of methods and tools for the evaluation of complicated one- to three-loop massive tensor Feynman integrals using Mellin-Barnes representations and their application to the two-loop Z-boson decay studies.

In particular, a Mathematica package PlanarityTest has been created which tests planarity of a given integral, an important step in automatizing calculations which involves thousands of integrals. Second, the AMBRE project has been further developed for an automated construction of Mellin-Barnes integrals, optimized for minimal dimensionality of massive vertex Feynman integrals at the two- and three- loop levels. Here the bottleneck were non-planar diagrams, treated now with a dedicated use of the Cheng-Wu theorem. Finally, the numerical integration of multidimensional MB integrals in Minkowskian regions is carried out using the MBnumerics package. Altogether, the here developed MB packages define a huge step in a new direction of calculating effectively some classes of Feynman integrals.

Thanks to these developments and with support of the independent and to a large extent complementary method of sector decomposition, the 2-loop Feynman integrals for the so-called bosonic electroweak two-loop corrections to the fermionic Z-boson partial widths, the Z-peak hadronic cross-section and the Z-pole asymmetries for lepton pairs and b-quarks have been calculated. In this way it became possible to complete the electroweak two-loop corrections to the Z boson pseudoobservables.

The method and results presented here give a chance for the precise calculation of the Standard Model corrections to the Z boson pseudoobservables beyond the 2-loop level. This accuracy level of theoretical calculations will be needed in order not to limit the physical interpretation of the measurements at future electron-positron colliders.

Für phänomenologische Präzisionsstudien ist die Berechnung von Strahlungskorrekturen jenseits des Einschleifenniveaus im Standardmodell der Eichwechselwirkungen notwendig. Die Effekte höherer Schleifen-Ordnungen in physikalischen Observablen bilden die Grundlage bei der Suche nach möglicherweise vorhandenen und schwer fassbaren Phänomenen jenseits des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Ihr Studium hilft auch beim tieferen Verständnis des Standardmodells selbst, wie auch dem der Quantenfeldtheorie allgemein.

Die Dissertation widmet sich der Entwicklung von Methoden und Tools zur Berechnung von komplizierten massiven Tensor-Feynmanintegralen mit ein bis drei Schleifen unter Verwendung von Mellin-Barnes-Darstellungen und ihrer Anwendung auf Z-Boson-Zerfallsstudien mit Zwei-Schleifen-Genauigkeit.

Insbesondere wurde das Mathematica-Paket PlanarityTest erstellt, mit dem die Planarität eines gegebenen Integrals getestet werden kann, ein wichtiger Schritt bei der Automatisierung von Berechnungen mit tausenden von Integralen.

Zweitens wurde das AMBRE-Projekt für die automatische Konstruktion von Mellin-Barnes (MB)-Integralen minimaler Dimensionalität für massive Vertex-Feynmanintegrale mit zwei und drei Schleifen weiterentwickelt. Problematisch waren hier nicht-planare Integrale, die nun mit einem dedizierten Gebrauch des Theorems von Cheng und Wu behandelt werden.

Schließlich wird die numerische Integration von mehrdimensionalen MB-Integralen direkt in der (problematischen) Minkowski-Kinematik mit dem MBnumerics-Paket durchgeführt.

Insgesamt definieren die hier entwickelten Mellin-Barnes-Softwarepakete einen entscheidenden Fortschritt bei Ausarbeitung einer neue Methode der effektiven Berechnung einiger Klassen von Feynman-Integralen jenseits des Einschleifenniveaus, zudem in der Minkowski-Kinematik. Dank dieser Entwicklungen, und unter Anwendung einer anderen, unabhängigen und weitgehend komplementären Methode, der Sektorzerlegung von Feynmanintegralen, konnten die 2-Schleifen-Feynmanintegrale für so genannte bosonische elektroschwache Zwei-Schleifen-Korrekturen der fermionischen Z-Boson-Partialbreiten, des Z-Peak-Wirkungsquerschnitts und die Asymmetrien für Leptonen und b-quarks berechnet werden.

Mit den Resultaten der Dissertation wurde die Berechnung der elektroschwachen Zwei-Schleifen-Korrekturen für die Pseudo-Observablen des Z-Bosons abgeschlossen.

Die hier vorgestellte Methode und die bisherigen Resultate stellen zugleich eine Grundlage dar für die Berechnung der Standardmodell-Korrekturen zu den Pseudo-Observablen des Z-Bosons jenseits des 2-Schleifen-Niveaus. Dieses theoretische Genauigkeitsniveau ist erforderlich, um die physikalische Interpretation von Messungen an zukünftigen Electron-Positron-Beschleunigern nicht einzuschränken.