Beilinson’s Conjectures for Superelliptic Curves

Abstract

This thesis is concerned with numerical evidence for the Beilinson conjectures for algebraic curves. We focus on superelliptic curves over a number field $K$, which are curves of the form begin{equation*} y^m = t(x), qquad m,deg(t)geq 3, (m,deg(t))=1, end{equation*} where the polynomial $t(x)$ has coefficients in $K$ and no multiple roots. This aims to generalize a previous approach of de Jeu, Dokchitser and Zagier, who successfully considered the case of hyperelliptic curves. The Beilinson conjectures relate the analytic regulator with a special value of the algebraic $L$-series; this naturally separates the numerical verification into two separate sub-problems.

At first we show in detail how to determine all algebraic geometric invariants -- including local $L$-factors at primes of bad reduction and the conductor -- which are necessary to numerically calculate special values of the $L$-function of such curves by using the algorithms described and implemented by Tim Dokchitser. In these sections on $L$-series of curves new results on the explicit calculation of the local $L$-polynomials, especially at primes of bad reduction, are presented, using ideas of Michael Stoll on certain properties of $ell$-adic cohomology groups.

Furthermore, in the sections on the regulator we first construct elements in the second $K$-group of certain superelliptic curves using an approach which is analogous to the construction of de Jeu, Dokchitser and Zagier, based on Bloch's trick. Some new insights on new relations of such elements are obtained; unfortunately, these reduce the number of computationally accessible curves drastically. In summary, this construction can only lead to enough elements for $K=Q$ and $K=Q[zeta_3]$, where $zeta_3$ is a third root of unity and even in these cases the polynomial $t(x)$ has to factor into $deg(t)-1$ factors. Nevertheless, we are still able to give one class of examples for which it is possible to numerically test the Beilinson conjecture, but this class of examples does not contain examples with small coefficients.

We are then able to bring both worlds together in this one class of examples. For one particular curve we numerically calculate the Beilinson regulator and numerically check Beilinson's conjecture. For this we explain how to calculate the regulator pairing for arbitrary superelliptic curves using numerical integration algorithms, but not with the same level of detail we dedicate to the $L$-functions. Due to the nature of the examples considered, all zeroes of the polynomial $t$ lie closely together. This forces us to integrate close to the zeroes, which makes it impossible to compute the integrals to high precision.

Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit numerischen Belegen zu Belinson Vermutungen algebraischer Kurven. Der Fokus liegt auf superelliptischen Kurven über einem Zahlkörper $K$. Dies sind Kurven der Form begin{equation*} y^m = t(x), qquad m,deg(t)geq 3, (m,deg(t))=1, end{equation*} in denen das Polynom $t(x)$ Koeffizienten in $K$ und keine mehrfache Nullstellen besitzt. Die Arbeit zielt darauf ab, einen vorangegangenen Ansatz von de Jeu, Dokchitser und Zagier zu verallgemeinern, welche sich erfolgreich mit dem Fall der hyperelliptischen Kurven beschäftigt haben. Die Beilinson Vermutungen vergleichen den analytischen Regulator mit einem speziellen Wert der algebraischen L-Serie. Diese Tatsache unterteilt die numerische Verifikation in zwei verschiedene untergeordnete Problemfelder.

Zuerst wird eingehend gezeigt, wie man alle algebraischen geometrischen Invarianten bestimmt - einschließlich der lokalen $L$-Faktoren an Primzahlen von schlechter Reduktion und dem Führer - welche notwendig sind um spezielle Werte der $L$-Funktion solcher Kurven numerisch zu berechnen. Die Berechnung benutzt die von Tim Dokchitser beschriebenen und implementierten Algorithmen. In diesen Teilen der Arbeit über $L$-Serien von Kurven werden neue Ergebnisse über die expliziten Berechnungen von lokalen $L$-Polynomen präsentiert, insbesondere bei Primzahlen von schlechter Reduktion, indem Ideen von Michael Stoll über bestimmte Eigenschaften von $ell$-adischen Kohomologiegruppen verwendet werden.

Darüber hinaus werden im Kapitel über den Regulator zunächst Elemente in der zweiten $K$-Gruppe bestimmter superelliptischer Kurven konstruiert, indem ein Ansatz verwendet wird, der sich analog zu de Jeus, Dokchitser und Zagiers Konstruktion verhält und auf Blocks Trick beruht. Einige neue Erkenntnisse über die neuen Beziehungen solcher Elemente werden gewonnen, allerdings reduziert sich dadurch die Anzahl der durch den Computer überprüfbaren Kurven drastisch. Zusammengefasst bedeutet dies, dass diese Konstruktion nur zu genügend Elementen führt für $K=Q$ und $K=Q[zeta_3]$ wo $zeta_3$ eine dritte Einheitswurzel ist und sogar in diesen Fällen muss das Polynom $t(x)$ in $deg(t)-1$ Faktoren zerfallen. Ungeachtet dessen wird in der Doktorarbeit eine Klasse von Beispielen gezeigt, für welche es möglich ist die Beilinson Vermutung numerisch zu testen, allerdings beinhaltet diese Klasse von Beispielen keine Beispiele mit kleinen Koeffizienten.

In dieser Arbeit werden beide Welten in einer Klasse von Beispielen miteinander vereint. Für eine bestimmte Kurve wurde der Beilinson Regulator numerisch berechnet und getestet. Dafür wird erklärt, wie die Regulator Paarung für beliebige superelliptische Kurven mit Hilfe von numerischen Integrationsalgorithmen berechnet werden kann. Dies wird allerdings nicht genau so detailliert dargestellt wie die $L$-Funktionen. Aufgrund der Beschaffenheit der verwendeten Beispiele liegen alle Nullstellen des Polynoms $(t)$ dicht beieinander. Diese Tatsache zwingt dazu nah entlang der Nullstellen zu integrieren was es unmöglich macht die Integrale in einer hohen Präzision zu berechnen.